Первая идея заключается в доказательстве отсутствия некоторых основных устойчивых связанных состояний при изменении численного значения фундаментальных постоянных.
Вторая — в утверждении: чтобы понять, почему мир устроен так, а не иначе, необходимо варьировать, изменять фундаментальные постоянные.
Заметим, что в работе Эренфеста эти утверждения не содержатся в таком явном виде, однако использованный им метод неявно опирается на обе идеи.
Подчеркнем исключительную нетривиальность этих идей не только для времени написания этой работы (1917 г.), но даже и для современной эпохи. Физики привыкли к тому, что фундаментальные постоянные в лабораторной физике имеют фиксированные значения, которые в многочисленных таблицах представлены с колоссальной точностью. Поэтому даже мысленные манипуляции с фундаментальными постоянными, к которым в первую очередь следует отнести размерность N, вызывают, как правило, в лучшем случае сомнение, а в худшем — отрицание. Однако автор надеется, что последующая часть его книги поможет убедиться в правомерности подхода Эренфеста.
Перейдем далее к изложению его идей.
Рассмотрим устойчивость системы, связанной в N-мерном евклидовом пространстве дальнодействующими силами и состоящей из двух тел. Для простоты буем полагать, что одно тело неподвижно, а движется лишь второе. Это означает, что константы взаимодействия первого тела (например, масса) существенно превышают константы взаимодействия второго и первое тело можно полагать неподвижным. В таком случае полная потенциальная энергия U| системы в N-мерном
N пространстве определяется выражением
— C M**2 U| = —---- + —------. (64) N r**(N-2) 2 * m * r**2
В этом соотношении C — константа взаимодействия, r расстояние между двумя телами, член C/r**(N-2) потенциальная энергия, соответствующая статическому взаимодействию. Этот член — обобщение законов Кулона и Ньютона для евклидового пространства с произвольной целочисленной размерностью (см. связь этих законов с евклидовой геометрией в разд.3 гл.2), M — момент количества движения, m — масса движущегося тела, член M**2 / 2mr**2 центробежная энергия системы.
Из теории устойчивости следует, что система может находиться в устойчивом состоянии, если энергия U| имеет
N минимум при r ≠ 0 или r ≠ ∞.
Мы приведем окончательные результаты исследования выражения (64) на экстремум при различных значениях N. Оказывается, что:
при N > 4 минимум существует лишь при r=0, это соответствует падению легкого тела на тяжелое;
при N = 4 минимум отсутствует;
при N = 2, 3 возможны минимумы при конечном значении r;
при N = 1 система абсолютно устойчива, т. е. всегда связана (эта особенность отражает отмеченный ранее факт (см. разд.10 гл.2), что невылетание кварков эффективно определяется одномерной геометрией).
Таким образом, устойчивые связанные состояния, определяемые дальнодействующими силами, могут существовать лишь в пространствах с размерностью N ≤ 3.
Эренфест доказал это положение в рамках классической динамики и боровской модели атома. В дальнейшем (Ф.Тангерлини, Л.Э.Гуревич, В.М.Мостепаненко) аналогичное доказательство было проведено в рамках квантовой механики.
Таким образом, в многомерных евклидовых пространствах (N ≥ 4) не могут существовать аналоги атомов или планет.
Далее мы приведем аргументы, поясняющие причины того, что пространство Метагалактики имеет размерность N ≠ 1, 2. Здесь же мы подчеркнем важный вывод из анализа Эренфеста. В многомерных евклидовых пространствах невозможно существование устойчивых связанных состояний, обусловленных дальнодействующими силами. Необходимо отметить, что доказанный факт, изолированный от физической науки как целого, может рассматриваться скорее как курьез. Единичный факт, происхождение которого непонятно и может быть отнесено к компетенции счастливого случая, едва ли может служить убедительной основой для понимания столько глубокой характеристики, как размерность N. Вероятно, поэтому работа Эренфеста была прочно забыта, и о ней вспомнили совсем недавно в связи с развитием космологии и физики элементарных частиц, развитием, воплощенным в принцип целесообразности и антропный принцип, о которых речь пойдет далее. В рамках прогресса физики и космологии последних десятилетий можно оценить по достоинству идеи Эренфеста. Далее мы остановимся на принципе целесообразности, который является развитием основных идей Эренфеста.
Принцип целесообразности — это констатация факта, что существование основных устойчивых состояний обусловлено всей совокупностью физических закономерностей, включая размерность пространства и другие численные значения фундаментальных постоянных. Для существования основных устойчивых состояний физические закономерности не только достаточны, но и необходимы. Наш мир устроен очень хрупко, небольшое изменение его законов разрушает его элементы основные связанные устойчивые состояния, к которым можно отнести ядра атомов, атомы, звезды и галактики.