Рис. 2.
[АВ] – отрезок АВ.
Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Это разбиение обладает следующим свойством. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.
Отрезок АВ не пересекает прямую а, отрезок АС пересекает прямую а (рис. 3).
Рис. 3.
Лучом называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной её точки. Эта точка называется начальной точкой луча. Различные лучи одной и той же прямой, имеющие общую начальную точку, называют дополнительными (рис. 4).
Рис. 4.
Лучи, так же как и прямые, обозначаются строчными латинскими буквами. Точка А является начальной точкой двух лучей p и q. Лучи p и q являются дополнительными.
Углом называется фигура, которая состоит из точки – вершины угла – и двух различных лучей или отрезков, исходящих из этой точки – сторон угла. Слово «угол» иногда заменяют знаком ? (рис. 5, 6).
Рис. 5.
Рис. 6.
На рис. 5 угол ? = ?АОВ образован двумя отрезками ОА и ОВ.
На рис. 6 угол ? образован двумя лучами р и q, имеющими начальную точку О.
Если стороны угла являются дополнительными лучами одной прямой, то угол называют развёрнутым (рис. 7).
Рис. 7.
Угол А является здесь развёрнутым.
Луч проходит между сторонами данного угла, если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок, соединяющий любые две точки, лежащие на разных сторонах угла.
Луч q проходит между сторонами ОА и OB угла AOB (рис. 8).
Рис. 8.
Углы измеряют в градусах и радианах. При этом ? радиан = 180°.
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами (рис. 9).
Рис. 9.
Сумма смежных углов равна 180°.
Лучи p и q – дополнительные, точка В принадлежит лучу p а точка А принадлежит лучу q. Углы СОА и СОВ – смежные.
Угол, равный 90°, называется прямым.
Угол, меньший 90°, называют острым углом. Угол, больший 90° и меньший 180°, называют тупым (рис. 10, а; б; в).
Рис. 10.
Углы:?АОВ – прямой, ?COD – острый, ?EOF – тупой.
На рисунках прямые углы часто обозначают знаками ?, ?.
Два угла называют вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого (рис. 11).
Рис. 11.
р и q – дополнительные лучи одной прямой, а m и n – дополнительные лучи другой прямой. Точка О – точка пересечения этих двух прямых и является начальной точкой всех указанных выше лучей.
Точки А, В, С, D лежат на соответствующих лучах.
Углы АОВ и COD – вертикальные.
Две прямые называют перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Перпендикулярность прямых обозначается знаком ? (рис. 12):
а ? b.
Рис. 12.
Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра (рис. 13):
АA' – перпендикуляр к прямой a, A' – обоснование перпендикуляра.
Рис. 13.
Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам (рис. 14).
Рис. 14.
ОС – биссектриса угла АОВ (?АОС = ?ВОС).
Пусть две прямые a и b пересечены прямой с.
Прямая с по отношению к прямым a и b называется секущей (рис. 15).
Рис. 15.
Углы 3 и 5 (4 и 6) называются внутренними накрест лежащими, углы 3 и 6 (4 и 5) – внутренними односторонними, углы 1 и 6 (2 и 5) – соответственными.
Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются. Для обозначения параллельности прямых используется знак||(рис. 16):
а||b.
Рис. 16.
Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки – его сторонами (рис. 17):
?ABC.
Рис. 17.
Углом треугольника ABC при вершине А называется угол, образованный отрезками АВ и АС. Также определяются углы треугольника при вершинах В и С.
Две фигуры называются равными, если они при наложении друг на друга совпадают (т. е. существует движение, переводящее одну фигуру в другую). Таким образом, треугольники равны, если у них соответствующие стороны и соответствующие углы равны (при этом соответствующие углы лежат против соответствующих сторон).