Поскольку энергия не может создаваться или уничтожаться, совокупная энергия — то есть, сумма потенциальной и кинетической энергий в любой точке — всегда остается той же самой. Это постоянство полной энергии называется законом сохранения энергии.
Вместо того, чтобы иметь дело с суммой энергий, принцип наименьшего действия касается разницы между кинетической и потенциальной энергией. Чтобы вычислить действие в каждой точке пути мяча, следует вычесть потенциальную энергию (ПЭ) из кинетической энергии (КЭ) (или энергии движения). Чтобы сделай полный расчет действия для пути мяча, вы должны производить это вычитание в каждой точке пути, и складывать эти величины для всех точек восходящего и нисходящего движения мяча (и умножать каждое приращение на время, как требует уравнение действия:
Действие = (КЭ — ПЭ)Время
Результатом является общее действие. Для мяча, звезды, или даже маленькой частицы, действие, по существу, определяется разностью КЭ — ПЭ в каждой точке пути. Принцип действия гласит, что природа отдает предпочтение путям, которые сводят действие к минимуму.
С учетом количества времени, необходимого мячу для достижения того места, куда вы хотите его бросить, вы, быть может, думаете, что могли бы бросать его вышке или ниже, быстрее или медленнее. Но природа противится вашим попуткам. Для данного количества имеющегося времени, закон наименьшего действия утверждает, что мяч будет выбирать и «знать», какую из различных возможностей использовать. Мяч будет находить единственный путь с наименьшим действием! Фейнман и многие другие утверждают, что мяч — или его аналог в квантовом мире, например, электрон — как будто «разведывает» все пути, и выбирает путь, требующий наименьшего действия.[100]
Большинству из нас известно, что бросание мяча подчиняется фундаментальному принципу Ньютона, согласно которому, сила будет вызывать ускорение мяча:
Сила = Масса Ускорение
Но удивительно то, что закон Ньютона и даже закон постоянства энергии в замкнутой системе можно обнаружить в принципе наименьшего действия. Это принцип определяет, как будет двигаться мяч или частица. Принцип наименьшего действия гласит, что существует единственный маршрут, по которому может следовать мяч. На рис. 11.2, вместо одного человека, подбрасывающего мяч, мы видим двух людей, бросающих мя друг другу.
Природа говорит нам, что при данном количестве времени для броска, мяч мог бы двигаться по множеству возможных путей. Однако, принцип наименьшего действия утверждает, что мяч «разнюхивает» все доступные пути (или обладает своего рода осведомленностью о них), выбирая тот, который связан с наименьшим действием. Этот путь показан на рис. 11.2 жирной линией.
Вы можете думать о мяче, по меньшей мере, двумя способами. Вы можете думать, что, будучи брошен, он движется с ускорением, или вы можете думать о нем с точки зрения осознания — что, исходя из времени, нужного для перемещения из одного места в другое, мяч «выбирает» путь с наименьшим действием.
(Рисунок 11.2. У мяча есть много возможных путей, но только путь, показанный жирной линией, предполагает наименьшее действие)
Эта идея отчасти аналогична представлению физиологии, согласно которому, энергия, которую мы используем для движения, уравновешивается нашей потенциальной энергией. Чтобы экономить энергию, ваше тело работает с доступной ему энергией. Вы можете использовать больше энергии, чем у вас есть в данный момент, но тогда вы расплачиваетесь за это на следующий день.
Принцип наименьшего действия Лейбница «Vis Viva»
За принцип наименьшего действия мы все должны быть благодарны Вильгельму Готфриду Лейбницу (1646–1716). Один из первых «современных» физиков и математиков, Лейбниц жил во временя Ньютона — в эпоху, когда ученые более открыто говорили о своем интересе как к количественным, так и к качественным характеристикам материи. Для Лейбница и его современников, материя была реальной в смысле количественной измеримости, но также живой и наделенной волшебной силой, одушевленной и сказочной. Он изучал звезды и жизнь на земле, и интуитивно понимал, что природа старается сохранять во всем эту присущую ей «жизненную силу». Он говорил о сохранении жизненной силы, или «vis viva». (Vis viva представляет собой математическую величину — произведение массы на квадрат скорости — половину которой составляет то, что мы сегодня называем кинетической энергией).
Хотя с точки зрения современной физики, его математические рассуждения были не вполне верны, он догадывался, что «непосредственная осведомленность» природы знает, сколько энергии и действия следует использовать. Поэтому, его идеи были предшественниками того, что мы сегодня называем принципами наименьшего действия и сохранения энергии, которые были открыты спустя, по меньшей мере, сто лет после его смерти.
Я легко могу представить себе Лейбница, как если бы он был с нами сегодня. Я представляю, что он наблюдал и ощущал события. Он удивлялся тому, как камни падают с горы, увлекая за собой другие камни. Он ощущал, что такое ловить мяч. Он чувствовал, как сила мяча давит на его руку, и наблюдал, как она двигается. Он называл этот субъективный опыт движений мяча «живой силой». Он наблюдал, как летают птицы и плавают рыбы. Для него и его современников, земля все еще была чем-то священным. Материя была не просто инертной, но одушевленной и полной духов. И потому для него и других ранних ученых, наименьшее действие было разновидностью «наименьшего усилия» — внутреннего ощущения, что даже в самых трудных ситуациях существует самый легкий путь. Мне кажется, что это ощущение лежит в основе сегодняшних принципов теории относительности, квантовой физики, и классической механики.
Айкидо — воплощение принципа наименьшего действия
Наши психология и технология в значительной степени движимы концепцией, весьма близкой к идее наименьшего действия. Мы постоянно стараемся облегчить себе жизнь. Сегодняшние компьютеры недостаточно быстрые; они должны быть быстрее. Мы используем пульты дистанционного управления, а не встаем и не проходим несколько шагов, чтобы нажать кнопку на телевизоре. На самом деле, мы настолько далеко зашли с «наименьшим действием», что некоторым из нас нужно не забывать упражняться!
Принцип наименьшего действия присутствует и в боевых искусствах Мастер Морихей Уешида, основатель практики айкидо, описывал айкидо как «соединение духа, ума, и тела в айки», что означает «гармония с жизненной силой».[101] Используя свой опыт древних восточных традиций самураев, даосизма, и буддизма, он разработал боевое искусство, основанное на чувстве родства со вселенной, включающем в себя «аи», или гармонию, «ки», или энергию, и «до», или путь. Согласно Уешида, Будо, или лучшая позиция в схватке, обычно считается состоящей в уменьшении болтовни повседневного ума и склонности к «деланию», чтобы могла действовать вселенная. В известном смысле, Будо говорит о наименьшем действии — то есть, подстраивай свое кинетическое, или двигательное, поведение к энергиям вселенной.
100
Прекрасное резюме и аннотированную библиографию, посвященную принципу наименьшего действия, можно найти на сайте Эдвина Тэйлора: http://www.eftaylor.com/pub/BiblioLeastAction12.pdf. Кроме того, следует помнить, что в наиболее общей формулировке, принцип наименьшего действия назывался бы принципом стационарного действия. Подробнее об этом см. http://en.wikipedia.org/wiki/Least_action