В 1953 г. группа А. Н. Тихонова объединилась с группой М. В. Келдыша, и было создано Отделение прикладной математики АН СССР, впоследствии преобразованное в Институт прикладной математики (ИПМ) АН СССР. Директором ИПМ стал академик М. В. Келдыш, заместителем директора по научной работе - академик А. Н. Тихонов, А. А. Самарский был назначен заведующим отделом.
Появление в 1953—1954 гг. первых отечественных ЭВМ открыло новые возможности для проведения вычислительного эксперимента и позволило на довольно слабых компьютерах решать все необходимые для обороны страны задачи. Это оказалось возможным благодаря разработке эффективных вычислительных методов. Выдающаяся роль здесь принадлежит А. А. Самарскому. Созданные под его руководством и при его самом непосредственном участии методы, алгоритмы и комплексы программ позволили с помощью методов вычислительного эксперимента перейти к проведению циклов исследований многих актуальных проблем. В первую очередь это задачи ядерной физики, физики плазмы и управляемого термоядерного синтеза, автокаталитические процессы в химии, задачи лазерной термохимии и конвекции. В ходе выполнения этих и других работ были заложены основы теории разностных схем - мощного инструмента современной вычислительной математики. Также была развита общая теория регуляризации разностных схем с целью получения схем заданного качества и ее применения к решению обратных (некорректных) задач, новые принципы аппроксимации многомерных задач, общая теория итерационных методов решения сеточных уравнений.
В 1957 г. А. А. Самарский защитил докторскую диссертацию, в 1966-м был избран членом-корреспондентом АН СССР по отделению математики. В этот период он со своими учениками занимался проблемами лазерного термоядерного синтеза, магнитной и радиационной газодинамики, создания мощных лазеров, аэродинамики, атомной энергетики, физики плазмы и многими другими исследованиями. В этих работах сложилась методология вычислительного эксперимента “модель-алгоритм-программа”. Потребность в обосновании прикладных расчетов привела А. А. Самарского к созданию операторной теории разностных схем, существенно опередившей мировой уровень. Он и его ученики интенсивно работали в этой области и создали много высокоэффективных алгоритмов для решения сложнейших актуальных задач науки и техники.
В 1976 г. А. А. Самарский становится действительным членом Академии наук СССР.
С 1953 г. по 1991 г. он возглавлял отдел в Институте прикладной математики АН СССР, а в 1991 г. организовал Институт математического моделирования РАН и до 1998 г. был его директором; в настоящее время Александр Андреевич - научный руководитель института и советник РАН.
Свыше 50 лет А. А. Самарский преподает в Московском государственном университете, им основана и долгие годы возглавлялась кафедра вычислительных методов на факультете вычислительной математики и кибернетики, а также кафедра математического моделирования в Московском физико-техническом институте. А. А. Самарский - глава большой научной школы; в числе его учеников пять членов-корреспондентов РАН, свыше 40 докторов и более 100 кандидатов наук. Его ученики работают во многих странах - Германии, Болгарии, Венгрии, США, Белоруссии, Грузии, Узбекистане, Азербайджане, Армении, Латвии, Литве, на Украине. А. А. Самарский - автор более 30 монографий и 450 статей. По учебникам, подготовленным с его участием (всего их свыше 30), училось много поколений студентов.
А. А. Самарский является организатором и главным редактором журнала “Математическое моделирование”, членом редколлегии шести отечественных и иностранных журналов, заместителем академика-секретаря Отделения информатики, вычислительной техники и автоматизации РАН, председателем Российской секции IMACS (Международная ассоциация по применению математики и компьютеров в моделировании). Он лауреат Ленинской, трех Государственных и Ломоносовской премий. Награжден тремя орденами Ленина, а также орденами Октябрьской Революции, Трудового Красного Знамени, Дружбы народов. Академик Самарский имеет боевые награды - орден Отечественной войны I степени, орден Славы, медали “За оборону Москвы” и “За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941—1945 гг.”.