Гиппократ принадлежит к косской ветви семьи Асклепиадов по мужской линии, что стало привычной формулировкой как в его трудах, так и в эпиграфике Коса.
Необходимо уточнить, что понимать под «Асклепиадами». Это имя часто употреблялось для обозначения врачей вообще, так как их искусство находится под покровительством Асклепия, бога медицины классической эпохи. Так, в «Пиршестве» Платона афинский врач Эриксомах говорит о «нашем предке Асклепии, основателе нашего искусства». Сначала это имя имело более узкий и более конкретный смысл. Оно обозначало двух сыновей Асклепия — Пода-лира и Махаона, а также их потомков, то есть знатную семью, якобы происходящую по прямой линии от бога. Это основополагающее различие, которым иногда пренебрегают современные историки и филологи, но хорошо известное эпиграфистам, было четко определено византийцем Цецесом: «В прямом смысле этого слова Асклепиадами называются те, чей род восходит к этому происхождению (то есть к Асклепию), будь они врачи, как Гиппократ, или занимайся другой деятельностью. Но из-за распространения ошибочного употребления всех врачей называют Асклепиадами, потому что они занимаются этим искусством».
Как все знатные аристократические семьи, Асклепиады (в узком значении этого слова) бережно хранили традиции своей именитой генеалогии, которые передавались устным путем из поколения в поколение. По этой традиции семья Гиппократа принадлежит к Асклепиадам, потомкам Подалира. Предок-основатель всей семьи, Асклепий, во времена Гомера еще не был богом, а был правителем Трикки в Фессалии. Он славился своими медицинскими познаниями, полученными от кентавра Хирона. Он послал на Троянскую войну двух своих сыновей — Подалира и Махаона, тоже врачей. Профессия уже передавалась младшим поколениям семьи. Достойные сыновья своего отца, во время похода Подалир и Махаон оказали неоценимые услуги ахейцам как воины, но особенно как врачи:
«Наши врачи, — говорит один герой «Илиады», — это Подалир и Махаон. Но этот последний, кажется, лежит в своей палатке; будучи раненым, он сам нуждается в первоклассном враче. Другой на поле боя смело выступает против жестокого бога троянцев Ареса».
Это по поводу Махаона Гомер вкладывает в уста одного из своих героев ставшие крылатыми слова:
«Один врач сам по себе стоит большого количества мужей».
Судьба этих двух сыновей Асклепия была хорошо известна грекам благодаря эпической литературе, дополняющей «Илиаду», которую называют «Киклическими поэмами».
Махаон был среди воинов, спрятавшихся в знаменитом коне, хитростью внесенном в Трою. Он погиб от ударов сына Телефа во время штурма города. Его прах был перевезен Нестором в Герению в Мессении. Там находилась его могила и храм, куда люди приходили исцелять свои недуги.
Подалиру повезло больше, потому что он выжил на войне. Но он столкнулся с большими трудностями, когда захотел вернуться домой, как и многие ахейские герои. Странствия Подалира не забросили его, как Одиссея, во владения какой-нибудь Калипсо или Цирцеи, но привели на побережье Малой Азии в Сирну, город в Карии, где он и обосновался. О его прибытии в Карию имеется подробная версия, изложенная Стефаном Византийским:
«Подалир, сбившись с пути (во время своего возвращения с Троянской войны), был спасен пастухом козьего стада и приведен им к Дамефу, царю Карии, дочь которого, упавшую с крыши, он лечил. Так как Дамеф был в совершенном отчаянии, говорят, Подалир спас ее, пустив кровь из обеих рук; восхищенный царь отдал ему в жены свою дочь и даровал ему Херсонес (в Кирии). Там Подалир основал два города: один — Сирну — в честь жены, а другой — в честь спасшего его пастуха».
Врач был спасен своим искусством. Версия, конечно, романтизирована, но она не обязательно такая же поздняя, как и ее источник. Потомки Подалира уехали как раз из этого города, Сирны, колыбели семьи Асклепиадов. Они разделились на две большие ветви. Одни поселились на небольшом острове Кос недалеко от азиатского континента. К этой ветви принадлежит Гиппократ. Другие же ушли с азиатского континента и обосновались в Книде, на полуострове прямо напротив Коса. Этот факт засвидетельствован очень древним источником, историком Феопомпом, который родился приблизительно тогда, когда умер Гиппократ.
Так как медицинская наука передавалась от отца к сыну, не удивительно, что результатом расселения семьи стало образование двух прославленных медицинских центров. Личность Гиппократа способствовала тому, что Кос затмил Книд. Была также и третья ветвь. Она обосновалась на острове Родос, но быстро исчезла. Гален упоминает эту историю в известном отрывке: