Одним вариантом является: “В этом придложении три ошыбки”. Первой реакцией прочитавшего бывает: “Нет, в нем только две ошибки. Тот, кто написал это предложение, не умеет считать.” Тут некоторые читатели просто удаляются, почесывая в голове и недоумевая, кому это понадобилось писать такую глупую и ошибочную фразу. Однако некоторые читатели улавливают связь между очевидной ложностью фразы и ее содержанием. Они думают: “Ах да, третью ошибку он сделал, подсчитывая орфографические ошибки.” Через пару секунд они снова перечитывают фразу и понимают, что если смотреть на нее таким образом, то автор подсчитал свои ошибки правильно, и, таким образом, высказывание не ложно, а следовательно, в нем только две ошибки, и… “Но… минуточку! Погодите-ка!! Гм-м-м…” Мысль перескакивает туда и обратно несколько раз, смакуя странное ощущение высказывания, подрывающего самое себя путем межуровневого противоречия — однако вскоре она устает от этой путаницы, освобождается из петли и погружается в размышления на тему о цели или интересе этой идеи, или о причине и решении этого парадокса, или о чем-нибудь совершенно ином.
Малькольм Фаулер. Молоток, забивающий гвоздь сам в себя. (Из “Vicious Circles and Infinity: An Anthology of Paradoxes”. Patrick Highes and George Brecht.)
“Короткое замыкание” иллюстрирует короткое замыкание логического парадокса. Отрицательное ведет к положительному, неподвижный круг завершен. (Из “Vicious Circles and Infinity”.)
Еще более сложным вариантом является: “В этом высказывании одна ошибка.” Разумеется, это ошибка, поскольку в нем нет ошибок. Точнее, в нем нет орфографических ошибок (“ошибок первого порядка”). Нет нужды говорить, что существуют и “ошибки второго порядка” — ошибки при подсчете ошибок первого порядка. Таким образом, в данном высказывании нет ошибок первого порядка и есть одна ошибка второго порядка. Если бы в данном предложении указывалось, сколько в нем ошибок первого порядка и сколько второго, дело обстояло бы иначе — но в нем не делается таких тонких различий. Уровни не различаются и смешиваются между собой. Пытаясь быть собственным наблюдателем, это высказывание оказывается безнадежно поймано в путанице логических спагетти.
С. Х. Уайтли изобрел более менталистскую версию основного парадокса, заставив систему явно думать о себе. Его высказывание было камешком в огород Дж. Р. Лукаса, философа, поставившего своей целью доказать, что труды Гёделя опровергают возможность разумных механизмов — кстати, возможно, и сам Гёдель также придерживался подобной философии. Вот это высказывание:
Лукас не может непротиворечиво утверждать это высказывание.
Разнообразные эффекты, которые могут быть получены при использовании самопоглощающей телевизионной системы. (Фото Дагласа Р. Хофстадтера.)
Правда ли это? Может ли Лукас утверждать это? Если бы он мог, само это действие сделало бы его противоречивым (никто не может сказать “я не могу этого сказать”, не впадая при этом в противоречие). Таким образом, Лукас не может непротиворечиво это утверждать, что и говорится в высказывании. Следовательно, оно истинно. Даже Лукас может видеть, что оно истинно — и тем не менее, он не может этого утверждать. Бедняга Лукас — должно быть, это его ужасно раздражает! Разумеется, ни у кого из нас нет подобных проблем. А вот еще того хуже:
Лукас не может непротиворечиво верить в это высказывание.
По тем же причинам, это верно — но теперь Лукас не может даже в это поверить, не вводя противоречие в свою систему убеждений.
Разумеется, никто не будет серьезно утверждать (мы надеемся!), что люди даже отдаленно приближаются к внутренне непротиворечивым системам, но если этот тип высказывания формализовать на математическом жаргоне (это можно сделать) так, что Лукас будет заменен строго определенной “системой убеждений” Л, тогда эта система будет иметь серьезные проблемы, если она захочет оставаться непротиворечивой. Формализованное для Л высказывание Уайтли — пример истинного утверждения, которому сама система никогда не могла бы поверить! Любая другая система убеждений неуязвима для данного высказывания — но с другой стороны и для этой системы найдется формализованное высказывание Уайтли. У каждой “системы убеждений” есть свое, сделанное по ее мерке высказывание Уайтли — своя “Ахиллесова пята”.