Многие из вас, возможно, думают, что если вы качаетесь на качели рядом с человеком, который намного легче вас, скажем с трехлетним малышом, то вы будете двигаться гораздо медленнее. Однако это не так. Так что вас должен немало удивить тот факт, что количество времени, необходимое для завершения одного колебания маятника (период колебания), не зависит от веса груза, висящего на этом маятнике. Обратите внимание, что я сейчас говорю о простом маятнике, а это означает, что он отвечает двум условиям. Во-первых, вес груза должен быть настолько больше веса нити, чтобы вес последней можно было не принимать во внимание. Во-вторых, размер груза должен быть достаточно мал, чтобы мы могли трактовать его как простую точку, имеющую нулевой размер[12]. Смастерить простой маятник в домашних условиях совсем нетрудно: просто привяжите яблоко к легкой нити, длина которой как минимум раза в четыре превышает размер яблока.
Итак, используя законы движения Ньютона, я вывожу в аудитории уравнение для вычисления периода колебания простого маятника, а затем проверяю это уравнение. Для этого мне надо исходить из предположения, что угол колебания маятника мал. Позвольте уточнить, что я имею в виду. Когда вы смотрите на свой самодельный маятник, раскачивающийся справа налево и слева направо, вы видите, что большую часть времени он движется либо в одну, либо в другую сторону. Тем не менее во время полного колебания маятника есть два момента, когда он замирает, после чего начинает движение в обратном направлении. В эти моменты угол между нитью и вертикальной осью достигает максимального значения, которое называется амплитудой маятника. Если не принимать во внимание сопротивление (трение) воздуха, то максимальный угол при остановке маятника в крайнем левом положении будет точно таким же, как и в крайнем правом положении. Уравнение, которое я вывожу, подходит только для малых углов (малых амплитуд). Мы, физики, называем такое выведение аппроксимацией с допущением о малости углов. Студенты обычно спрашивают меня: «А насколько мал должен быть этот угол?» А одна студентка подошла к делу еще серьезнее, спросив: «А считается ли малой амплитуда в пять градусов? Работает ли это уравнение для амплитуды в десять градусов, или десять градусов уже слишком большой угол?» Отличные вопросы, на которые я предложил ответить, не отходя от кассы.
Уравнение, которое я вывожу, довольно простое и очень элегантное, хотя тем, кто долгое время не имел дела с математикой, оно может показаться несколько устрашающим:
Здесь Т – это период колебания маятника (в секундах), L – длина нити (в метрах), значение π приблизительно равно 3,14, а g – ускорение свободного падения (9,8 метра в секунду за секунду). Правая часть уравнения формулируется так: 2π, умноженное на корень квадратный частного длины нити, поделенное на ускорение свободного падения. Я не буду здесь вдаваться в подробности, почему это уравнение истинно (при желании вы можете проследить за ходом моих рассуждений на моих видеолекциях).
Я привожу в книге это уравнение для того, чтобы вы могли оценить, насколько точно его истинность подтверждается моими демонстрациями. Согласно данному уравнению период колебания маятника длиной в 1 метр составляет приблизительно 2 секунды. Я засекаю время, которое требуется маятнику с нитью такой длины, чтобы произвести десять колебаний, и у меня получается примерно 20 секунд. Делим на 10 и получаем период колебания 2 секунды. Тогда я перехожу к маятнику с нитью в четыре раза короче первой. В соответствии с уравнением его период колебания должен быть в два раза меньше. У моего маятника нить длиной 25 сантиметров, и на десять колебаний у него действительно уходит около 10 секунд. Пока все идет вполне обнадеживающе.
Чтобы подвергнуть выведенное уравнение более тщательной проверке, чем с использованием маленького маятника из нити с яблоком, я соорудил в аудитории другой простой маятник: канат длиной 5,18 метра со сферическим стальным грузом весом 15 килограммов. Я называю его отцом всех маятников.
Каким же будет период колебания (T) такого, куда более внушительного маятника? Подставив значения, получаем T = 2π√(5,18/9,8), то есть 4,57 секунды. Чтобы проверить этот результат, как было обещано студентам в начале лекции, я измеряю период колебания при амплитудах 5 и 10 градусов.
12
Если массу нити нельзя сбросить со счетов и/или если размер груза не может трактоваться как точечная масса, маятник не будет простым. Такой маятник называется физическим, и ведет он себя несколько иначе.