Родился он 10 августа (28 июля по старому стилю) 1908 года в белорусской крестьянской семье на хуторе Яцковичи Княгининской волости Вилейского уезда Виленской губернии. В период Первой мировой войны в 1915 г. линия фронта установилась вблизи местности, где проживала семья его отца Семена Азончика. В их доме был расквартирован штаб части русских войск. Как позже вспоминал Александр Семенович «в это время я был засимпатизирован генералом армии русских войск штаба находящегося в нашей квартире Вельяшевым, который представил мне солдата уроженца Кавказа некого Георгия для того, чтобы обучить меня грамоте».
В 1918 году Саша Азончик окончил 2 класса Княгининской школы Кричевского района, работал пастухом у помещика Козелл-Поклевского. В 1924 году окончил 7 классов, затем учился на портного. До 1929 года занимался портняжным делом и хлебопашеством в деревне Ковенево Виленского воеводства Второй Речи Посполитой. В этот период (1924–1926) Саша Азончик работал разведчиком и писарем (псевдоним «Лялин») в разведорганизации, действовавшей в пользу советской власти.
С октября 1929 по 1931 год служил в Сувалках в польской армии во 2-м уланском полку им. генерала Дверницкого; окончил школу младшего комсостава, капрал. После демобилизации работал портным, крестьянином в Эстонии.
С началом Второй мировой войны был призван в польскую армию; воевал под Граево. В сентябре 1939 года был взят в плен Красной Армией, интернирован в Козельск. Вернувшись на родину, организовал Красную Гвардию, в которой работал до декабря 1939 года.
С ноября 1939 по июнь 1941 года был внештатным сотрудником Вилейского областного управления НКВД. В феврале 1940 г. он активно участвовал в операции по выселению осевших на территории Западной Беларуси поляков. «Я с винтовкой в руках этапировал множество осадников и лесников к месту отправки в г. Молодечно» – записал он в своей автобиографии.
С началом Великой Отечественной войны остался на оккупированной территории. 24 июля 1941 г. отправился в райвоенкомат, чтобы вступить в Красную Армию добровольцем. «Но пока я пришел в наш райцентр то в этот день райвоенкомат и все другие учреждения эвакуировались в тыл», – писал в 1946 г. А.С. Азончик в своих воспоминаниях «Годы борьбы», хранящихся в фондах Белорусского государственного музея истории Великой Отечественной войны.
Уже назавтра, 25 июня 1941 года, в течение одного дня, Александр Азончик организовал и возглавил группу партизан из местного населения в количестве 8 человек. К 1 июля партизанский отряд «Патриот» насчитывал уже 64 человека (в последующие годы увеличился до 184).
1 июля 1941 года отряд Азончика дал первый бой: на дороге Вилейка-Долгиново при атаке на вражескую колонну было убито 23 и ранено 29 фашистов. В течение года отряд пускал под откос железнодорожные составы, повреждал линии связи, мосты, уничтожал автомашины противника. «В течение всей моей партизанской деятельности был в роли командира только до прибытия к месту действия, а когда уже наступило время действовать, то я тут в одно мгновение превращался в главного исполнителя действий и никакие опасности тогда уже не были мне страшны».
Продолжая действовать, патриоты производили налеты на автомашины, систематически резали линии связи, сжигали мосты и склады, охотились за полицейскими и немецкими пособниками, – пишет научный сотрудник отдела истории партизанского движения Белорусского государственного музея истории Великой Отечественной войны А.Н.Максимчик, – отсутствие достаточного количества вооружения, боеприпасов и взрывчатки компенсировалось смекалкой и находчивостью храброго командира.
Так, при обстреле эшелона с живой силой противника, Александр Семенович смазывал рельсы салом, что значительно замедляло скорость состава и позволяло прицельно обстреливать противника. 4 вражеских эшелона было пущено под откос с помощью обычного гаечного ключа и лома, которыми он развинчивал и демонтировал железнодорожное полотно.
Очень живо и красочно диверсии партизанского отряда описаны А.С.Азончиком в его воспоминаниях, составленных из его дневников, которые велись с первого для войны, журнала боевых действий отряда «Патриот» и личных воспоминаний. «В течение всей моей партизанской деятельности был в роли командира только до прибытия к месту действия, а когда уже наступило время действовать, то я тут в одно мгновение превращался в главного исполнителя действий и никакие опасности тогда уже не были мне страшны… Опасную профессию подрывника я полюбил всей душой и отдался ей всем существом своим. Для меня в те годы не было более волшебно-привлекательного зрелища как смотреть на дело рук своих – взрывы и крушения эшелонов, особенно с живой силой».