К теме гипотезы Пуанкаре примыкает важная для кибернетиков область математики — вычислительная топология. Вычислительные и распознавательные задачи, оказывается, есть и в этой абстрактной науке. С одной из таких задач связана предпринятая в 1974 году очень интересная попытка решения проблемы Пуанкаре в ее алгоритмической версии.
Каждая трехмерная поверхность задается некоторым (не будем вдаваться в подробности) дискретным кодом — конечным набором символов. Одна и та же поверхность имеет бесконечное число различных кодировок. Естественный вопрос: существует ли алгоритм, определяющийся по заданному кодовому слову, задает ли это слово трехмерную сферу в новой алгоритмической проблеме Пуанкаре? Именно эту задачу исследовал ряд видных российских математиков в 1974 году, предположив, что определенное свойство кода (оно было названо «волной») дает критерий «сферичности». Однако им удалось только доказать, что наличие «волны» гарантирует: перед нами сфера. Доказать же, что в любом коде, задающем сферу, имеется «волна», никак не получалось. Тогда авторы сделали весьма оригинальный по тем временам ход: провели масштабный компьютерный эксперимент. Была написана программа для машины БЭСМ-6, которая случайным образом генерировала коды, задающие трехмерную сферу, и проверяла наличие в них «волны». В эксперименте, потребовавшем весьма длительного счета, был проверен миллион таких случайных
-55-
представлений сферы — и во всех обнаружилась «волна»! Это был довольно веский аргумент в пользу корректности предложенного алгоритма. Но авторы, будучи серьезными математиками воздерживались от поспешных заявлений. И не напрасно: спустя пару лет был обнаружен контрпример…
Спустя 20 лет алгоритм распознавания 3-сферы (за экспоненциальное время) был все же построен. Однако общая проблема алгоритмического распознавания поверхностей размерности-3 открыта, она активно изучается и сегодня, в то время как для более высоких размерностей давно известна ее неразрешимость, а для размерности-2 она была решена еще раньше.
По мнению современного философа А. В. Дахина, особенно важно отметить, что теорема Пуанкаре — Перельмана содержит идею о возможности существования в глобальной Вселенной двух структур пространства.
Профессор Дахин считает, что имеет смысл обратиться к следующим закономерным вопросам: почему может существовать пространство с дыркой и почему может существовать пространство без дырки? Как существует пространство с дыркой и как существует пространство без дырки? И более глубокий вопрос: что находится внутри дырки и где это «что-то», когда дырка отсутствует?
Эти вопросы можно проиллюстрировать в терминах проблемы начала Вселенной. Резонно предложить две картины: одна из них показывает, что начало — это точечный объект (материальная частица), а другая картина будет отражать, что начало Вселенной — это не материя, а дырка (ничто или дух), где время и пространство отсутствуют.
«Теория Терстпона, получившая название гипотезы геометризации, описывает все возможные трехмерные многообразия и, таким образом, является очень важным обобщением гипотезы Пуанкаре. Доказательство гипотезы Терстона влекло за собой доказательство проблемы Пуанкаре. Доказательство теорий Терстона и Пуанкаре "открывало огромные перспективы", как признал Барри Мазур, математик из Гарвардского
-56-
университета. Последствия этих доказательств для других областей науки могут быть неочевидны еще долгое время, но, без сомнения, для математиков эти задачи имели фундаментальное значение. "Эти задачи — что-то вроде теоремы Пифагора XX века, — добавил Мазур. — Они оказывают огромное влияние на математику"».
Диалектический подход призывает к тому, чтобы найти концепт, обобщающий обе модели пространства. Базовая идея здесь была выдвинута именно Пуанкаре, который обосновал различие (и взаимосвязанность) между картезианской моделью пространства (трехмерная система) и моделью «живого» пространства, представленной в работах самого Пуанкаре (сферическая система). В частности, он дал собственное определение термина «точка пространства» для «живой» пространственной системы. Он показал точку пространства в качестве агента взаимодействий с другими предметами вокруг нее. Соответственно, как агент взаимодействий всякая точка пространства является одновременно и точкой времени, а потому должна быть оснащена собственной памятью.
Итак, было бы разумно заключить: точка пространства-времени — поскольку она является агентом собственных взаимодействий — действует под влиянием собственной памяти и поэтому считается «центром индетерминации» Вселенной. В то же время эта память — своеобразное проявление предшествующей истории агента, которая отсутствует для всех взаимодействий настоящего. Следовательно, память дает всякому агенту некоторую независимость от предметов и взаимодействий настоящего. Рассматривая ситуацию, мы можем заметить, что кроме причин и взаимодействий настоящего агент имеет и некоторые иные источники собственной активности. Иными словами, он имеет собственные источники активности, которые со стороны выглядят как дырки.
-57-
Обобщая сказанное, предположим, что точка пространства-времени имеет два онтологических измерения собственной активности.
• Одно измерение (сфера бытия) связано с влиянием его предшествующей истории; это измерение памяти, которое проявляется как дырка и является невидимой оснасткой активности «центра индетерминации».
• Второе измерение (сфера существования) связано с его взаимодействиями в настоящем; это измерение взаимодействий, и оно проявляется через активность материальных частиц, которые являются видимой оснасткой любой активности центра детерминации.
Рис. 21. Модельные переходы в центр индетерминации Вселенной Пуанкаре
Таким образом, в свете бытийного измерения пространство Вселенной будет проявляться как содержащее дырки, потому что любой предмет или фактор будут повернуты стороной своей памяти. В аспекте существования пространство Вселенной будет проявляться как содержащее материальные частицы, потому что любой предмет или фактор будут высвечены со стороны взаимодействий. В русле диалектики особенно важно подчеркнуть различие и взаимосвязь между обоими измерениями. В заключение своих логических построений профессор Дахин резюмирует, что теория глобаль-
-58-
ной эволюции Вселенной не может быть адекватной, если она будет по-прежнему оснащена только одним концептуальным измерением.
Итак, перед нами абстрактная геометрическая или, точнее, топологическая проблема, которая определенно сильно повлияла на умонастроения великого французского метафизика (так со времен Аристотеля называют ученых, занимающихся философией науки). Это было какое-то особое влияние, заставившее Пуанкаре связать в один тугой узел логических построений конвенционализм, релятивизм и топологию иных измерений. Что предстало перед изумленным взором ученого, когда ему удалось распутать эту научную проблему?
Это было какое-то новое миропонимание, настолько необычное, что оно и стало причиной знаменитого «молчания Пуанкаре»…
Однако проблема Пуанкаре при всей своей загадочности предполагала еще и решение, и оно тоже открывало нечто принципиально новое в облике нашего Мира…
Моррис Клайн в свое время писал, что, хотя математика и является чисто человеческим творением, она открыла доступ к некоторым тайнам природы и этим позволила добиться успехов, превзошедших все ожидания. Как это ни парадоксально, но именно столь далекие от реальности математические абстракции дали человеку возможность многого достичь. Сколь ни искусственно, а иногда и сказочно математическое описание, в нем есть своя мораль. Для мыслящего ученого математическое описание всегда было неиссякаемым источником удивления, рожденного тем, что природа проявляет столь высокую степень соответствия математическим формулам. Заложены ли регулярные зависимости, выражаемые физическими законами, в самой природе и мы лишь открываем их или их изобретает и применяет к природе разум ученого — в любом случае ученые должны надеяться, что их неустанный труд способствует более глубокому проникновению в тайны природы.