Это суждение теории чисел не имеет доказательств в системе «Оснований математики».
Заметим, между прочим, что Гёделево высказывание Г само по себе не является теоремой Гёделя, так же как высказывание Эпименида не является замечанием «Высказывание Эпименида — парадокс». Теперь мы можем установить, какой эффект произвело открытие Г. В то время как высказывание Эпименида создает парадокс, потому что оно не является ни истинным, ни ложным, Гёделево высказывание Г — истинно, хотя и не доказуемо в системе «Оснований математики». Из этого следует замечательный вывод: система «Оснований математики» неполна, так как существуют истинные суждения теории чисел, не доказуемые методами самой теории (эти методы доказательства оказываются слишком «слабыми».)
«Основания математики» явились первой, но далеко не последней жертвой удара. Выражение «и родственные системы» в заглавии Гёделевой статьи говорит о многом. Если бы результат, полученный Гёделем, указывал бы только на дефект в работе Рассела и Уайтхеда, другие математики могли бы попытаться исправить ошибки в «Основаниях математики» и «перехитрить» теорему Гёделя. Однако это оказалось невозможным: теорема Гёделя была приложима ко всем аксиоматическим системам, ставившим своей целью то же, что и система Рассела и Уайтхеда. Для различных систем подходил один и тот же основной трюк. Короче, Гёдель показал, что понятие «доказуемости» уже, слабее понятия истинности вне зависимости от того, какую аксиоматическую систему мы выбираем.
Таким образом, теорема Гёделя произвела электризующий эффект на логиков, математиков и философов, заинтересованных в основах математики, поскольку она показала, что ни одна установленная система, какой бы сложной она не была, не может отразить всей сложности целых чисел: 0,1, 2, 3… Современный читатель, возможно, не окажется от этого в таком замешательстве, как читатели 1931 года, так как за прошедшее время наша культура впитала теорему Гёделя вместе с революционными идеями теории относительности и квантовой механики, и широкая публика получила доступ к этим концепциям, поражающим и дезориентирующим мышление даже в смягченном прослойкой переводов (а зачастую и затемненном этими переводами) виде. Сейчас идея «ограничивающих» результатов витает в воздухе; тогда, в 1931 году, она была как гром с ясного неба.
Чтобы полностью оценить теорему Гёделя, необходим определенный контекст. Я попытаюсь здесь дать обзор истории математической логики до 1931 года на нескольких страницах — невозможная задача! (Хорошее изложение истории этого предмета читатель может найти у Делонга, Нибоуна, или Нагеля и Ньюмена). Все началось с попытки механизировать мыслительный процесс логических рассуждений. Обратите внимание, что умение мыслить всегда рассматривалось как отличительная черта человека; на первый взгляд, желание механизировать самую человеческую черту кажется парадоксальным. Тем не менее, уже древние греки знали, что логическое мышление - структурный процесс, до некоторой степени управляемый определенными законами. Эти законы можно описать. Аристотель систематизировал силлогизмы, а Эвклид — геометрию; однако с тех пор прошло много веков до того, как в изучении логического мышления снова наступила эра прогресса.
Одним из важнейших открытий геометров девятнадцатого столетия были различные геометрии, равно имеющие право на существование. Под геометрией здесь понимается теория, описывающая свойства абстрактных точек и линий. До этого считалось, что геометрия — это система, кодифицированная Эвклидом; она могла иметь незначительные недостатки, которые могли быть со временем исправлены. Таким образом, любой прогресс в этой области означал исправление и дополнение Эвклида. Это убеждение было разбито вдребезги, когда несколько математиков почти одновременно открыли неэвклидову геометрию — открытие, потрясшее математический мир, поскольку оно сильно поколебало бытовавшее мнение, что математика изучает реальную действительность. Каким образом в одной и той же реальности могли существовать различные типы точек и линий? Сегодня решение этой дилеммы может быть очевидно даже для некоторых далеких от математики людей, но в то время она посеяла панику в математических кругах.
Позже в девятнадцатом веке английские логики Джордж Буль и Август де Морган пошли значительно дальше Аристотеля в кодификации строго дедуктивных рассуждений. Буль даже назвал свою книгу «Законы мысли», что, безусловно, было некоторым преувеличением; однако его попытки внесли серьезный вклад в общие усилия. Льюис Кэрролл был очарован механическими методами рассуждений и изобрел множество головоломок, решавшихся с помощью этих методов. Готтлоб Фреге в Йене и Джузеппе Пеано в Турине работали над соединением формальных рассуждений с изучением чисел и множеств. Дэвид Гильберт в Геттингене трудился над более строгой, чем у Эвклида, формализацией геометрии. Все эти усилия были направлены на выяснение вопроса о том, что же такое «доказательство».