С точки зрения физики вопрос можно поставить по- другому: существует ли траектория, проходя по которой, тело затрачивает столько же времени, чтобы достигнуть самой низкой точки, как при падении, вне зависимости от того, откуда оно начало падать? Интуиция подсказывает нам, что нет. Главный герой «Моби Дика» Измаил находит ответ случайно,
На рисунке 1 показан простой маятник и главные элементы, отвечающие за его движение: вес Р, возникающий в связи с силой притяжения, и натяжение веревки Т. В классическом ньютоновом анализе вес раскладывается на сумму двух сил, одна действует перпендикулярно траектории (Рp = Р · cosα), другая — по окружности (Pt = Р · sinα). Это разделение ведет к двум уравнениям. В одном из них Рр равно натяжению (Рр= T) на двух концах колебания. Если Рр было больше T, веревка порвалась бы. Если бы оно было меньше, веревка растягивалась бы массой m. Поскольку L остается постоянной, первое уравнение ограничивает движение гири дугой окружности. Второе уравнение описывает его динамику, как оно ускоряется и тормозится, когда колебания идут по кругу: m · at = Pt = -Р · sinα (где at — круговое ускорение). Отрицательный знак появляется, так как когда а положителен (sinα тоже положителен при α < 180°), то сила направлена влево, по направлению, которое мы считаем отрицательным, и наоборот. Если мы немного разовьем выражение, то получим:
m · d²s/dt² = -m · g · sinα,
где s представляет собой расстояние, пройденное вдоль окружности (S = L · α).
d²s/dt² = g · sinα, d²s/dt² = -g · sin s/L.
Решением этого уравнения будет функция s(t), которая позволяет получить для каждого момента t положение массы s, то есть определяет ее траекторию. Обычно это непериодическая функция. Когда значение а очень мало (то есть когда L гораздо больше s), синус и угол становятся почти одинаковыми (α ≈ sin а), и уравнение упрощается:
d²s/dt² = -g · s/L.
Решение этого уравнения соответствует периодической функции:
s(t) = smax · sin(√(g/L) · t).
Чем больше угол а, тем больше отдалится значение его синуса и хуже будет периодическая апроксимация. Это расхождение называется круговым отклонением. На рисунке 2 черная кривая обозначает функцию sin α, а серая — функцию α. Видно, что они совпадают только при маленьких углах, а от 15° градусов начинается расхождение.
РИС. 1
РИС. 2
когда чистит огромную кастрюлю, в которой очищался жир кита. Он понимает, что с какой бы высоты ни падало мыло, у него всегда уходит одинаковое количество времени, чтобы дойти до дна. Какой математической модели следовал изгиб дна кастрюль «Пеко»? За двести лет до появления Измаила, в декабре 1659 года, Гюйгенс открыл, что речь шла о перевернутой циклоиде.
Циклоида была одной из наиболее хорошо изученных кривых для математиков того времени. Из-за споров вокруг нее циклоиду даже называли Еленой геометров и яблоком раздора. Говорят, что Паскаль начал заниматься этой кривой, чтобы отвлечься от зубной боли. Способ сработал, и ученый счел его знаком свыше, говорящим, что ему следует глубже изучить свойства циклоиды. И здесь на сцене опять появляется Галилей, поскольку именно он дал кривой это название, восхищенный ее «изящнейшим изгибом, так хорошо подходящим для арок мостов».
Самый простой способ нарисовать циклоиду состоит в том, чтобы отметить на окружности точку и сделать так, чтобы окружность катилась без скольжения. Траектория, по которой будет двигаться точка, и будет циклоидой (см. рисунок 4). Эта кривая имеет особые отношения с силой тяжести. В 1696 году Якоб Бернулли бросил научному сообществу вызов: если соединить две точки А и В линией и запустить по ней шар, то какую форму должна принять линия, чтобы шар затратил как можно меньше времени на то, чтобы пройти от А к В? Ответом опять была перевернутая циклоида.
РИС. 4
РИС. 5
