Следующим этапом пути, предназначенного для Христиана, было совершенствование его юридического образования, необходимого для любого дипломата. Юноша так описал старшему брату свои ожидания от этого: «Подозреваю, что наш отец желает, чтобы мы таскались в адвокатскую коллегию, но надеюсь, что это не продлится слишком долго». Недостаток энтузиазма Христиана с лихвой восполнял его отец: он не жалел красок для описания сына в письме Генриху, графу Нассау- Зигенскому. Согласно характеристике отца, Христиан обладал массой прекрасных качеств, включая увлечение наукой.
По всей видимости, этот перечень достоинств произвел желаемое впечатление, так как в октябре 1649 года Гюйгенс- младший оказался в числе спутников графа Генриха в поездке в Данию, целью которой было заставить датские власти снизить налог с голландских кораблей за пересечение пролива Орезунд. Выполнив свои обязанности, Христиан оставил двор Фленсбурга и посетил дворец Гамлета в Эльсиноре. Возможно, поднявшись на одну из его башен, он, протестуя против судьбы, уготовленной ему отцом, произнес что-то вроде «Быть или не быть». С башни были видны берега Швеции, находившиеся всего в четырех километрах, и Христиану пришла в голову идея нанести визит Декарту, который в то время жил в Стокгольме и давал частные уроки королеве. К сожалению, осуществлению плана помешала непогода. А по возвращении домой после этого первого соприкосновения со своим профессиональным будущим, Христиан заболел.
Константин Гюйгенс в окружении сыновей. По традиции первенец изображался справа, значит, портрет Христиана находится слева от отца.
Христиан на портрете кисти Бернарда Вайланта, написанном по рисунку сестры ученого Сюзанны.
Франс ван Схотен
и портрет Декарта его работы. Ниже — текст, написанный Константином.
Юноша знает не только законы [...], но и французский, латынь, греческий, иврит, сирийский и халдейский; он прекрасный математик, музыкант и художник.
По иронии судьбы, болезнь помогла Христиану выйти из тупика. В Европе XVII века оспа была практически обязательным заболеванием, которого не могли избежать даже высшие слои общества. Осенью 1650 года Вильгельм II, только что одержавший верх над своими политическими противниками, умер от вируса, так и не увидев своего единственного сына, который родился через восемь дней после его смерти. Сторонники республики постарались воспользоваться периодом регентства для уничтожения наследной монархии. Преданность Оранской династии закрыла семье Гюйгенсов дорогу к высоким постам. Они оказались специалистами в деле, которым больше не могли заниматься. Для Константина это стало тяжелым ударом, однако его сыновья перенесли удар судьбы гораздо легче. Константин дал старшему сыну передышку. Пока молодой наследник престола, будущий Вильгельм III, подрастал, брат Христиана пил, рисовал и растрачивал свое блестящее образование в общении с прекрасным полом. Христиан же наконец смог спокойно заняться наукой.
Благодаря ван Схотену Гюйгенс прекрасно владел математикой, существовавшей до появления математического анализа. Первых успехов он добился в геометрии, в тех ее областях, которые сегодня считаются устаревшими: такие как квадратура — геометрическая игра, состоящая в том, чтобы строить квадраты на основе любых фигур так, чтобы площадь квадрата была равна площади исходной фигуры. При решении задачи можно было пользоваться только линейкой и циркулем, из-за чего построить некоторые квадратуры, например квадратуру круга, было невозможно. Только в XIX веке немецкий математик Фердинанд фон Линдеман доказал невозможность такого построения, но до этого момента лучшие умы посвящали поискам решения огромное количество сил и времени. В возрасте 22 лет Гюйгенс нашел ошибку в одной из самых сложных попыток, предпринятой фламандским иезуитом Грегорио ди Сан Винченцо. Христиан усовершенствовал метод построения квадратур и применил его к коническим сечениям (эллипсам, параболам и гиперболам), а с помощью приблизительной квадратуры круга улучшил метод Архимеда для вычисления цифр после запятой в числе π.