Есть замечательная структура под названием префиксное дерево, которая именно это и делает. Она пользуется тем, что цифры и номера имеют общие префиксы, чтобы производить такие операции, как проверка орфографии и автокоррекция слов, которые вы вводите в строку поиска слишком быстро и при этом делаете ошибки.
РАЗВЕ НЕ ЗДОРОВО, ЧТО ОБЫДЕННОЕ СТАНОВИТСЯ УВЛЕКАТЕЛЬНЫМ, СТОИТ ТОЛЬКО ПОДОЙТИ К НЕМУ ИНАЧЕ?!
2
Выбери свой размер
На следующий день после Рождества медсестра Эппи Тоам из шотландского городка Инвернесс рано утром пришла к местному универмагу в ожидании новогодней распродажи. У Эппи довольно распространенный размер одежды, и она хочет первой ворваться в магазин, чтобы успеть ухватить все блузки своего размера. Ей нужно делать все быстро. Ситуация может выйти из-под контроля. В прошлом году во время такой распродажи 15 человек получили травмы, а потом пришлось вызывать военных, чтобы прекратить давку. Как Эппи может повысить свои шансы заполучить нужные блузки, до того как они попадут в чужие руки?
Подсказка. Рассматривайте этот пример, доводя его до абсурда. Что, если стойки с одеждой будут располагаться по всей ширине магазина?
Если мы ищем что-то среди большого количества одежды, то нужно ли просматривать всю коллекцию? Другими словами, если у нас 100 вещей, должны ли мы просмотреть все 100, то есть занимает ли такая операция линейное время? Смысл линейной функции в том, что если для нахождения чего-то в куче из 100 вещей нужна минута, то можно ожидать, что у нас уйдет две минуты на поиск нужной вещи в куче из 200 предметов гардероба.
Обычно так и происходит. Однако коллекция может обладать одним интересным качеством, а именно: она поддается сортировке, что позволяет найти вещь по алгоритму логарифмического времени, примерно за 7 шагов, а не за 100. Вспомните, что логарифм – это всего лишь нечто обратное экспоненте. Составляя компьютерные программы, мы предполагаем, что основание логарифма есть 2, поэтому логарифм 100 это log2 100, то есть получается примерно 7. Это значительное улучшение можно увидеть, переходя от линейного времени к логарифмическому. Поэтому логарифм и является таким важным понятием, особенно когда мы говорим о скорости роста. К этому мы будем часто возвращаться в следующих главах.
Для начала давайте представим, как Эппи носится по магазину с сияющим от гордости и тщеславия лицом. Шарф развевается, ее боевые крики вырываются сквозь стиснутые зубы и отражаются от стен универмага. Она все утро готовилась к этому моменту.
ЦЕЛЬ: НА ВЫБРАННОЙ ВЕШАЛКЕ НАЙТИ БЛУЗКУ СВОЕГО РАЗМЕРА.
МЕТОД 1: ДЛЯ ВЫБРАННОЙ ВЕШАЛКИ. ПРОСМОТРЕТЬ ВСЕ БЛУЗКИ ОДНУ ЗА ДРУГОЙ.
МЕТОД 2: ДЛЯ ВЫБРАННОЙ ВЕШАЛКИ. НАЧНИТЕ ИСКАТЬ СВОЙ РАЗМЕР В СЕРЕДИНЕ ВЕШАЛКИ. ЕСЛИ ТАМ ВИСЯТ БЛУЗКИ РАЗМЕРОМ БОЛЬШЕ, НУЖНО ПОЙТИ НАЛЕВО. ЕСЛИ ЖЕ РАЗМЕРЫ МЕНЬШЕ – НАПРАВО.
Вот так можно наглядно сравнить эти два метода. Очевидно, что поиски по методу 1 станут значительно медленнее, чем по методу 2, по мере увеличения количества блузок на вешалке.
Как вы уже, вероятно, догадались, в методе 2 выгодно используется знание двух фактов. Во-первых, блузки, скорее всего, отсортированы по размерам. А во-вторых, поскольку у Эппи ходовой размер, то скорее всего нужные ей блузки висят где-то в середине вешалки. Зная это, можно не только начать с середины, но и передвигаться влево или вправо своеобразными скачками, каждый раз сокращая коллекцию вдвое. Такой подход и есть визитная карточка алгоритма логарифмического времени.[14] Это та самая интуиция, которую мы используем, чтобы найти нужное слово в словаре, или имя в телефонном справочнике, или статью в энциклопедии. Те же интуитивные знания мы будем применять, если заснем над скучной книгой и захотим на следующий день возобновить чтение с того же места. В целом можно охарактеризовать этот подход как принцип отбрасывания ненужной информации.
ЭППИ НАХОДИТ СВОЙ РАЗМЕР ЗА 4 ШАГА.
ЭППИ НАХОДИТ СВОЙ РАЗМЕР ЗА 2 ШАГА.
Для нас наиболее важной информацией о логарифмах является то, что они медленно растут, как вы видели из предыдущих графиков. Мы предпочитаем решения, которые растут медленно, потому что это означает, что наш метод не так сильно зависит от количества предметов. Эппи скорее всего найдет нужную вещь на вешалке с сотней блузок менее чем за 7 шагов, а на гипотетической вешалке с тысячью блузок – всего за 10 шагов или около того, что не так уж плохо. Этот метод логарифмического поиска чего-либо в отсортированной группе предметов часто называют бинарным поиском. Он значительно эффективнее метода 1, известного под названием линейный поиск, и благодаря ему Эппи приобрела кучу новых блузок своего размера.
14
Сходным образом процесс многократного удвоения чисел от 1 до n логарифмичен, поскольку мы можем сделать не более чем log n скачков, прежде чем получим n. Например, сколько лет уйдет на зарабатывание 1 млн долларов, если начать с 1 доллара и каждый год удваивать его? Можно посчитать это вручную или же применить log2 1 000 000 = 19,93 года (