Несмотря на это, неевклидова геометрия не такая уж и либеральная. Как и у предшественницы, у нее есть свои ограничения. Суть неевклидовой геометрии заключается в том, чтобы заменить аксиому параллельных прямых новым утверждением, но оставить при этом остальные постулаты неизменными. Раз аксиома параллельных независима, то она в некотором смысле заменяема, что делает возможным новые варианты геометрии.
Первым, кто предложил идею неевклидовой геометрии, был Карл Фридрих Гаусс, хотя он и не рискнул опубликовать свои ранние соображения[2]. В версии Гаусса, которую позже Клейн назвал «гиперболической геометрией», аксиома параллельности заменена утверждением о том, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести неограниченное число прямых, параллельных данной прямой. Представьте, что вы крепко сжали в руке бумажный веер прямо над длинным узким столом. Если стол — это прямая, а ваша рука — точка, не лежащая на прямой, то складки веера показывают множество прямых, которые не пересекают исходную прямую. Термин «гиперболическая» происходит оттого, что расхождение параллельных прямых напоминает то, как расходятся ветви гиперболы.
Гаусс заметил любопытное свойство треугольников в гиперболической геометрии: сумма их углов была меньше 180°. Это отличает гиперболическую геометрию от евклидовой, где сумма углов треугольника всегда равна 180°. Например, в равнобедренном прямоугольном треугольнике два угла равны 45°, а третий — 90°. Талантливый художник М. К. Эшер вдохновился этим различием для создания любопытных узоров из искаженных не-180-градусных треугольников, существующих в гиперболической реальности.
Можно попробовать проиллюстрировать гиперболическую геометрию следующим образом: представьте себе точки, прямые и геометрические фигуры, расположенные не на плоскости, а на поверхности в форме седла или, если эпикурейские удовольствия вам ближе, в форме изогнутых картофельных чипсов. Из-за формы седла находящиеся рядом прямые будут расходиться друг от друга. Как бы им ни «хотелось» идти прямо, они будут отклоняться друг от друга и никогда не встретятся. Это приводит к тому, что через данную точку вы можете провести неограниченное число прямых, не пересекающих прямую, лежащую в стороне от данной точки. Кроме того, седловая форма поверхности «сжимает» треугольники; делая сумму их углов меньше 180°.
Другая версия неевклидовой геометрии впервые была предложена студентом Гаусса Бернхардом Риманом в 1854 году и опубликована в 1867 году. Она стала известна под названием «эллиптическая геометрия»; которое предложил Клейн. В этой геометрии аксиома параллельных заменена утверждением; полностью исключающим возможность существования непересекающихся прямых. Она говорит о том; что через данную точку, не лежащую на данной прямой; невозможно провести ни одной прямой; не пересекающейся с данной. Другими словами; все прямые; проходящие через точку, не лежащую на данной прямой; должны пересекать эту прямую где-то в пространстве. Риман показал; что таким свойством обладают прямые на поверхности сферы.
Если отсутствие параллельных прямых кажется вам странным; представьте себе Землю. Каждый меридиан пересекается со всеми остальными на Северном и Южном полюсах. То есть если какой-нибудь амбициозный путешественник начнет свой путь из центра Торонто строго на север; прямо по Янг-стрит; главной улице города; потом наймет собачью упряжку и ледокол и продолжит свой путь на Северный полюс; в то время как его сестра в это же самое время пойдет по аналогичному маршруту, только из Москвы, то вначале их пути будут казаться параллельными, но, несмотря на это, родственники неизбежно встретятся.
2
Первым это сделал русский математик Николай Иванович Лобачевский, опубликовавший свою пионерскую работу «О началах геометрии» в журнале «Казанский вестник» в 1829 году. Ознакомившись с трудами Лобачевского, Гаусс рекомендовал избрать Лобачевского иностранным членом-корреспондентом Гёттингенского королевского научного общества как «одного из превосходнейших математиков русского государства». Избрание Лобачевского состоялось в 1842 году. —