- Представляю себе, как обрадовались бухгалтеры семнадцатого века, когда счетная машина была наконец завершена! - фантазирует Фило.
- Кха. кха... Не думаю, чтобы очень, мсье. К сожалению, она была слишком дорога для них. Да и в работе сложновата. К тому же частенько портилась. Тогда ведь не умели еще устранять трение. Отсюда вечные заедания, зацепки...
- Хоть бы и так, - хорохорится Фило, - а все-таки четыре действия арифметики с плеч долой!
- Не четыре, а только два, мсье. Сложение и вычитание. Арифмометр Паскаля - прародитель так называемых сумматорных машин. Зато уже спустя каких-нибудь два-три десятилетия появилась сумматорно-множительная машина Лейбница.
- Последователь, стало быть, не заставил себя ждать.
- Не последователь, а последователи, - снова поправляет бес. - Даже в семнадцатом веке их уже было несколько. Само собой, охотники погреть руки на чужом таланте - не в счет. Паскаля оградила от них королевская привилегия, а еще - их собственное невежество: изготовление мало-мальски сносной подделки требовало сноровки и знаний, которых у них не было. Ну да что о них толковать! Мы ведь говорим о связи машины Паскаля с современностью.
- Как? Разве разговор не закончен? - удивляется Мате.
- Нет, мсье, мы как раз подошли к самому главному. А главное для нас с вами - отнюдь не устройство машины, а идея. Да, да, идея, которая подтолкнула мсье Паскаля к ее созданию. Он, если помните, руководствовался утверждением Декарта, полагавшего, что мозгу человеческому свойствен некий автоматизм и что многие умственные процессы, по сути дела, ничем не отличаются от механических. Иными словами, мозг столько же автомат, сколько живой орган. Долгие годы работы заставили Паскаля не только утвердиться в этой мысли, но и углубить ее. Он понял, что действия арифметической машины даже ближе к мыслительному процессу, нежели то, на что способен живой мозг...
- Что?! - взвивается Мате. - У Паскаля есть такая запись? Но ведь это же одно из тех положений, на которых основана кибернетика!
- В том-то и дело, мсье! И значит, у нас с вами есть все основания считать Паскаля ее отдаленным предшественником, что совершенно необходимо отметить еще одной чашкой чая.
Хозяин, улыбаясь, принимает у черта пустую чашку. Но что это? Рисунок на ней опять изменился! Теперь там изображены они сами - Фило, Мате и Асмодей в своем маркизовом обличье, восседающие на крыше руанской судебной палаты.
Улыбка медленно сползает с круглой физиономии Фило. Неужели его заставят копаться в теореме Дезарга? К счастью, эта неприятная для него операция переносится на другое время. Зато разговор о своей собственной теореме Мате откладывать не намерен. И многострадальный филолог покоряется своей участи.
- Итак, - говорит Мате, - напоминаю суть теоремы. Если на сторонах произвольного треугольника построить снаружи или внутри (значения не имеет) по равностороннему треугольнику и соединить прямыми их центры тяжести, то полученный таким образом новый треугольник тоже будет равносторонним.
- Насколько я понимаю, именно это и нуждается в доказательстве, капризно замечает Фило.
- Совершенно верно. Какого рода доказательство вы желаете получить? Общее или частное - на числовом примере?
- Достаточно будет и частного!
- Понятно, - ядовито кивает Мате. - Тогда к общему виду потрудитесь привести его самостоятельно. А теперь вычертим произвольный треугольник и выберем систему координат с началом в одной из вершин треугольника. Скажем, в точке О. Ось иксов направим вдоль стороны ОВ. - Говоря это, Мате набрасывает чертеж в своем неизменном блокноте. - Как видите, координаты вершины О - нуль, нуль; вершины А - четыре, пять; вершины В - девять, нуль. Теперь нетрудно вычислить и размеры сторон треугольника.
-По известной формуле, - сейчас же соображает Асмодей. - Квадрат расстояния между двумя точками равен сумме квадратов разностей координат этих точек, иначе говоря
d2 =(X1- Х2)2 + (У1 - У2)2.
- Очень хорошо. Подставим в эту формулу координаты соответствующих вершин треугольника. Тогда:
ОA2 = 42+52 = 41, а ОА = ; OВ2 = 81, а OВ = 9 и
АВ2 = (9- 4)2 + 52 = 50, а АВ = .
Ну, а теперь построим на сторонах нашего треугольника новые треугольники, на сей раз равносторонние. Намечаю их пунктиром. Буквами n, m и р обозначим точки пересечения медиан в каждом из них. Это и будут их центры тяжести. Точки эти, как известно, находятся на расстоянии двух третей медианы, считая от вершины. В первом равностороннем треугольнике это Am = От. Во втором - An = Вп. В третьем - Вр = Ор. Но так как в равностороннем треугольнике медианы являются в то же время и высотами, а высота в этом случае равна половине стороны, умноженной на , то
Am = mO = 2/3АО = АО
An = Вn = АB и
Вр=Ор=OB .
Иначе:
(Ат)2= (mO)2 = (AO)2/3 = 41/3, (An)2 = (Вn)2 = AB2/3 = 50/3;
(Вр)2 = (Ор)2 = OB2/3 = 27.
Мате на мгновение отрывается от чертежа и, убедившись, что Фило еще жив, продолжает:
- Далее обозначим искомые координаты центров тяжести равносторонних треугольников. Точки m: х1, у1; точки n: x2, у2; точки р: х3, у3. Займемся сперва одним треугольником и по известной уже нам формуле о квадрате расстояния между двумя точками вычислим, что
(Am)2 = (Оm)2 =(x1-4)2+(y1-5)2=x12+y12=41/3.
Решая систему двух уравнений:
(x1- 4)2 + (y1- 5)2 = x12 + y12 и x12 + y12 = 41/3, найдем, что
x1 = 2 +- 5/6; y1 = 2,5 +- 2/3.
- А как это у вас получилось? - неожиданно для себя самого интересуется Фило.
- По-моему, это понятно всякому школьнику, - сердито отвечает Мате.
- Допустим. А как же быть с двумя знаками перед вторыми слагаемыми? Какой из них выбрать?
- Ну, а это уж где как. Обратите внимание на то, что первые слагаемые (2 и 2,5) - это координаты середины стороны ОА. В самом деле:
(O+4)/2 = 2 и (O+5)/2=2,5
А точка т лежит слева от этой середины, но выше ее. Следовательно, в первом равенстве (x1) надо сохранить знак минус, а во втором (у1) - знак плюс. Поэтому окончательно:
x1 = 2- 5/6, у1 = 2,5 + 2/3.
Точно таким же образом найдем координаты точек n и р: