Фило просто из себя вышел: что за дикая выдумка!
— Не такая уж дикая, как вам кажется, — осадил его Мате. — Она приходила в голову и другим ученым. В конце тринадцатого века ту же идею проповедовал некий итальянский отшельник Раймунд Луллий, но он оставался таким же непонятым, как Буль. Один только Джордано Бруно воздавал ему должное. Несколько позже, в семнадцатом веке, идея Луллия очень занимала великого немецкого математика Лейбница. Но и его соображения по этому вопросу прозябали в неизвестности более двухсот лет.
— Но почему ж тогда эту алгебру называют булевой? — возмутился Фило. — Так не годится! Ведь Буль, насколько я понимаю, всего лишь последователь Луллия и Лейбница.
— Не думаю. Скорее всего, мысль исследовать логику с помощью алгебры пришла ему в голову совершенно самостоятельно. Вы ведь имели уже случай убедиться, что в науке такое бывает. И кроме того, то, что было всего лишь наброском у Луллия и Лейбница, превратилось у Буля в разработанную, законченную теорию.
Фило иронически побарабанил пальцами по ручке кресла.
— Еще одна теория без применения!
— Нет, вы неисправимы! — взвился Мате. — Стоит ли мыкаться с вами по средневековым базарам и проваливаться в кроличьи ямы, если вы не можете понять, что в науке открытий без применения не бывает. Возьмите хоть числа Фибоначчи… Разве не пошли они, в конце концов, в дело?
Фило нехотя подтвердил, что числа Фибоначчи действительно пригодились, но когда? Через семь веков!
— До чего все-таки разные у нас взгляды на вещи! — с сердцем воскликнул Мате. — Для вас важно, что через СЕМЬ ВЕКОВ, а для меня, что ПРИГОДИЛИСЬ. Впрочем, — прибавил он несколько спокойнее, — Булю повезло больше. Его изобретение пролежало без дела не более ста лет. И теперь алгебра логики — одна из наиболее действенных научных теорий современности. Достаточно сказать, что на ней основана кибернетика!
— Не увлекайтесь, — сухо остановил его Фило, — нам с вами о кибернетике толковать рано. У нас еще в тринадцатом столетии дел по горло.
— Ваша правда. Я и забыл, что на нашей совести несколько неразобранных задач.
КОФЕ С МАТЕМАТИКОЙ
— Ну-с, с чего же начнем? — спросил Фило, потирая руки.
— Я думаю, с кофе, — неожиданно заявил Мате. — У меня отличная кофеварка, — с гордостью сообщил он. — Обратите внимание: собственная конструкция!
Толстяк подозрительно оглядел нескладное дымящееся сооружение, от которого тянулся электрический шнур к треснутой фарфоровой розетке. Но кофе, против ожиданий, оказался превосходным, и лакомка Фило дал себе слово обязательно выведать секрет его приготовления.
Тут он обратил внимание на необычной формы пятиугольную чашку, и мысли его сами собой перенеслись к задаче, предложенной магистром Теодором. Некоторое время интерес к кофе боролся в нем с интересом к математике, но потом ему пришло в голову, что пить кофе и решать задачи можно одновременно. Он поделился своим гениальным открытием с Мате, и тот без лишних слов приступил к доказательству.
— Так вот, — сказал Мате, открывая неизбежный блокнот, — требуется вписать в квадрат ABCD равносторонний пятиугольник таким образом, чтобы одним из углов его был угол квадрата. — Он начертил квадрат. — Прежде всего, проведем диагональ квадрата BD. Теперь на глазок впишем в квадрат равносторонний пятиугольник BEgFK так, чтобы диагональ BD была его осью симметрии. Сторону квадрата обозначим буквой а, сторону пятиугольника, естественно, через х, — ведь именно она-то нам и неизвестна. Таким образом, АК = а — х, KF = х, AF = а — FD. Но FD есть гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника FLD, катеты которого равны х/2. Теперь соблаговолите определить, чему равна гипотенуза FD.
Фило довольно бойко отрапортовал, что, согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. А раз так, значит, гипотенуза
— Отлично, — сказал Мате. — Стало быть,
Теперь все стороны треугольника AKF выражены у нас через искомое число х: KF = х, АК = a-x, и, наконец,
Снова обратимся к теореме Пифагора и получим, что KF2 = АК2 + AF2, то есть
— Что-то вроде квадратного уравнения, — сообразил Фило.
— Вот-вот. Надо лишь привести его в приличный вид.
Мате раскрыл скобки и перенес все члены уравнения в левую часть равенства:
— Решив уравнение по обычной формуле, — продолжал он, — получим:
— Э, нет, — заартачился Фило, — перед большим корнем полагаются два знака: плюс и минус. А вы написали только минус…
— Замечание верное, но ведь мы с вами не отвлеченное квадратное уравнение решаем, а ищем вполне конкретную сторону пятиугольника. А она, если вдуматься, никак не может быть больше стороны квадрата. Так что на сей раз хватит с вас и одного минуса.
— Невелика выгода. Ответ у вас все равно некрасивый: корень на корне и корнем погоняет.
Мате засмеялся. Этот Фило определенно делает успехи! Одной правильности ему уже мало. Что ж, придется предложить ответ поизящнее. Такой, например: если принять, что корень из двух приближенно равен 1,41, то икс — также приближенно — равен 0,65 а.
— Совсем другое дело? — сказал Фило. — Но там, между прочим, были еще две геометрические задачи.
— Благодарю за напоминание. Только теперь ваша очередь решать.
Фило обомлел. Как? От него требуют, чтобы он решал задачу один? Самостоятельно?
— Вот именно, — непреклонно подтвердил Мате. — Единственное, что я могу для вас сделать, это напомнить, в свою очередь, условия задач. Итак, слушайте. Задача вторая. В равносторонний треугольник надо вписать квадрат, одна сторона которого лежит на основании треугольника. Произвести это следует так, чтобы квадрат вместе с образовавшимся над ним малым треугольником составлял равносторонний пятиугольник.
Фило мрачно вздохнул и задумался. Через некоторое время, однако, лицо его прояснилось. Он взял у Мате блокнот, вычертил равносторонний треугольник АВС и вписал в него квадрат DEFg.
— Само собой разумеется, что квадрат пока что приблизительный, так же как и равносторонний пятиугольник DEBFg.
— Ну, ну, — подбадривал Мате, — дальше…
— Дальше обозначим стороны большого треугольника через a, а стороны пятиугольника через х и рассмотрим прямоугольный треугольник AED. Гипотенуза его АЕ = а — х. Катет ED = х, а катет AD = (a — x)/2. Так ведь?
— Клянусь решетом Эратосфена, так!
— Тогда остается применить теорему Пифагора:
АЕ2 = ED2 + AD2.
А уж отсюда получим выражение:
(а — x)2 = x2 + ((a — x)/2)2.
После этого Фило запнулся и посмотрел на Мате так жалобно, что сердце у того не выдержало, и вскоре перед ними красовалось следующее квадратное уравнение:
x2 + 6ах — 3a2= 0
Решив его, они определили, что
и откинулись от стола, весьма удовлетворенные своей деятельностью.
— Ну, — ехидно полюбопытствовал Мате, — что же вы не спросите, почему перед корнем вместо двух знаков только один?
Фило гордо подбоченился: стоит ли спрашивать о том, что и так ясно? Ведь сторона квадрата не может быть отрицательной! Стало быть, минус ни при чем.
Далее он относительно быстро подсчитал, что
приближенно равен 3,46, а раз так, значит, х ≈ (-3 + 3,46)а = 0,46а.
— Всё! Переходим к третьей задаче.
— Надо ли? — усомнился Мате. — Думаю, вы отлично справитесь с ней дома.
И он протянул товарищу листок, на котором было написано: «в равнобедренный треугольник с основанием 12 и боковыми сторонами 10 вписать равносторонний пятиугольник, один из углов которого — угол при вершине, а одна из сторон лежит на основании треугольника».