В 1936 году Тьюринг опубликовал работу, в которой был представлен четкий ответ на вопрос Гильберта: процедуры для определения истинности или ложности любого математического выражения не существует. Более того, многие из важнейших нерешенных проблем в математике являются неразрешимыми. Это оказалось хорошей новостью для математиков-гуманистов, для которых этот вывод значил, будто бы их никогда не смогут заменить машинами. Но в своей работе Тьюринг представил нечто большее, чем просто решение проблемы Гильберта: в процессе он смог вывести теоретические основы работы современных компьютеров.
Прежде чем тестировать предположение Гильберта, Тьюринг должен был сформулировать эту самую пошаговую процедуру и понять, какое устройство могло бы ее выполнить. Ему не требовалось создавать саму машину – достаточно было понять теоретические принципы ее работы.
Для начала он придумал машину, которая могла считывать символы с перфоленты (см. рис. 1.1). Вы подаете в машину перфоленту, а она изучает символы и на основании заложенных правил принимает решение о своем следующем действии. К примеру, такое устройство могло сложить два числа, записанных на перфоленте, и вывести на ленту результат операции. В дальнейшем это устройство получило название «машина Тьюринга». Но поскольку каждая машина Тьюринга имела собственный свод правил (то есть фиксированную программу), она не годилась для тестирования гипотезы Гильберта.
В 1930-х годах Алан Тьюринг придумал новый тип машин, который смог бы последовательно считывать символы с перфоленты. После принятия решения на основании своих внутренних правил устройство выполняло одно из пяти действий: передвигало ленты вправо или влево, удаляло символ, дописывало новый символ или останавливалось. Такое устройство получило название «машина Тьюринга».
Тьюринг также предположил, что даже саму перфоленту можно использовать для программирования действий машины – то есть базовой версии программного обеспечения. Такая схема получила название «универсальная машина Тьюринга» и стала основой всех современных компьютеров.
Рис. 1.1. Тьюринг так никогда и не построил свою теоретическую вычислительную машину, но она послужила основой для всех современных компьютеров
Тьюринг понял, что можно создать машину, которая сначала будет считывать процедуру с ленты, а затем использовать эту информацию для определения своих внутренних правил. Таким образом, машина станет программируемой и способной к выполнению тех же действий, что и отдельно взятая машина Тьюринга с фиксированным набором правил. Такое гибкое устройство, которое мы называем «универсальной машиной Тьюринга», и является компьютером.
Почему так? Процедура, записанная на ленте, является аналогом компьютерной программы. Универсальная машина Тьюринга загружает программу с ленты на свое устройство – именно это мы и делаем с программами на жестком диске. Сейчас ваш компьютер используется в качестве текстового процессора, а через минуту он превращается в музыкальный плеер.
После изобретения Тьюрингом теоретического компьютера он смог ответить на вопросы: что такое «вычисляемость»? Что может и не может делать компьютер?
Для опровержения гипотезы Гильберта Тьюрингу нужно было найти лишь одно логическое выражение, которое компьютер не смог бы однозначно трактовать как истинное или ложное. Поэтому Тьюринг сформулировал конкретный вопрос: сможет ли компьютер проанализировать программу и решить, способна ли она «остановиться» или же будет выполняться вечно, до своего отключения? Другими словами, истинен или ложен факт, что программа остановится? Ответ оказался следующим: нет, не сможет. Таким образом, он пришел к выводу, что процедуры Гильберта не существует, и «проблема разрешения» была решена. Фактически вывод Тьюринга заключался в том, что существует бесконечное множество задач, которые компьютер не сможет выполнить.
Пока Тьюринг сражался с проблемой разрешения, американский математик Алонзо Чёрч использовал истинно математический подход к ней. Чёрч и Тьюринг опубликовали свои работы почти одновременно. Работа Тьюринга определяла понятие «вычисляемости», в то время как Чёрч делал упор на «эффективную вычислимость». Оба термина являются равнозначными. Результат их трудов – тезис Чёрча – Тьюринга – лежит в основе нашей концепции пределов вычислений и создает прямую связь между эзотерическим вопросом из математической логики и компьютером на вашем столе или в кармане.