Стоит признать, что число π действительно полезно. Оно всплывает буквально всюду – например, в математике, физике, финансах, архитектуре, искусстве, музыке и инженерии. Это объясняется тем, что без него не обходится ни одно математическое описание повторяющегося явления. Если вас интересует математика волн – где бы они ни распространялись, будь то в звуке, в воде, в электромагнитной среде, в биржевых данных или в любых других средах, – вы, по сути, имеете дело с явлением, свойства которого цикличны, а следовательно, вам нужно число π. Однако, поскольку мы рассматриваем влияние математики на нашу цивилизацию, не будем забывать о той сфере применения π, которую часто обходят вниманием: об архитектуре.
Если вы бывали в Софийском соборе в Стамбуле в современной Турции, вы, вероятно, были так очарованы его красотой, что даже не думали о математике, лежащей в основе этого сооружения. И зря, ведь собор спроектировали два математика: Исидор Милетский и Анфимий Тралльский[51].
Император Юстиниан обратился к Исидору и Анфимию, поскольку хотел возвести новый каменный храм на месте храма, разрушенного бунтовщиками. Десятки тысяч людей погибли в ходе восстания, поднявшегося в том числе из-за налогового гнета (из-за чего же еще бунтовать?). Юстиниану нужно было величественное сооружение, чтобы продемонстрировать, что власть в городе принадлежит ему.
Спроектированный собор идеально подходил для этой задачи. Геометрически он представляет собой впечатляющее и сложное сочетание 82-метровой прямоугольной базилики с центральным кубическим объемом, который венчает купол высотой 56 метров. Таких грандиозных проектов прежде не воплощали. Софийский собор был возведен к 537 году нашей эры и оказался на тот момент крупнейшим зданием на планете. Он сразу стал гордостью Константинополя, и вскоре его признали одним из архитектурных чудес света. Как архитекторы добились таких впечатляющих результатов всего за шесть лет? Они использовали примерные значения π и квадратного корня из 2 и применяли геометрические хитрости Герона Александрийского.
Собор Святой Софии. Изображение из открытого источника, получено в отделе плакатов и фотографий Библиотеки Конгресса США, Вашингтон, 20540
Герон родился около 10 года нашей эры и зарекомендовал себя как прекрасный математик и изобретатель. Среди прочего он нашел способы качать воду и вычислять площадь треугольника, а также спроектировал паровой двигатель. Его справочник “Стереометрика” был, несомненно, хорошо знаком Исидору и Анфимию, которые преподавали в университетах Александрии и Константинополя. “Стереометрика” – это практическое руководство, в котором автор учит читателя работать с объемами и площадями различных архитектурных сооружений, чтобы составлять бюджет и планировать приобретение и доставку необходимых строительных материалов. Кроме того, в книге объясняется, как вести проект с начала и до самого конца.
В самых эффектных архитектурных сооружениях задействуются кривые, круги и сферическая геометрия. А это значит, что применяется и число π. Однако π – одно из иррациональных чисел, которых, как мы уже поняли, для древних греков не существовало. Они не могли его записать и уж точно не могли передать его каменщику. Неудивительно, что Герон предложил примерное значение π, лишь отметив, что “такие числа плохо поддаются измерению”. Он принял его за 22/7, а затем привел примеры, в которых радиус или диаметр делились без остатка на 7, чтобы проще было сокращать знаменатель (нижнюю часть) дроби при расчете различных параметров свода или купола. Герон мастерски использовал геометрию, чтобы облегчить архитекторам жизнь. “Парусный” купол, как у Софийского собора, состоит из двух элементов. Сверху находится полусфера, поддерживаемая чуть более широким сводом, составленным из изогнутых треугольных секций. Герон поясняет, как произвести расчеты для таких сферических треугольников: нужно отнять четыре сферических секции от полусферы, вписав в нее половину куба. Благодаря этому несложно вычислить объем (а следовательно, и массу) и площадь поверхности купола (а следовательно, и требуемое количество штукатурки). Более того, в конце этого раздела своего руководства Герон предложил “стандартные решения” для строительства, в результате чего работа с цифрами, которую прорабам приходилось совершать в уме, свелась к минимуму.
51
Svenshon H.