если сходных успехов достигнут и другие области социальной жизни, станет необходимым, чтобы люди научились мыслить логически и не были рабами предубеждений или страстей. Возможно, эта надежда утопична; возможно, однако, что уроки приобретенного опыта смогут ослабить влияние иррациональных верований, заполонивших современный мир.
Лекция 3. Искусство вычисления
Мы живем в цивилизации техники, о которой большинство /I/I из нас имеет малое представление. Почему загорается электрический свет, когда мы нажимаем на включатель? Почему холодно в холодильнике? Как летчик с самолета берет на мушку цель на земле? Что позволяет астрономам предсказывать затмения? На основании каких принципов страховые компании решают, выплачивать или нет страховку? Это, безусловно, практические вопросы, и если бы кто-то не знал на них ответы, то мы не могли бы наслаждаться теми удобствами, которыми имеем обыкновение гордиться. Людей, знающих ответы, действительно немного. Обычно именно они придумывают правило или машину, которая позволяет всем другим людям управлять ею, обладая лишь некоторыми знаниями; практикующий электрик не должен знать теорию электричества, несмотря на то, что это необходимо для изобретений, с которыми он знает, как нужно обращаться. Если вы хотите быть способными ответить на подобные ежедневные вопросы, то должны выучить много вещей, и самая необходимая из них – это математика.
Некоторые люди все равно будут ненавидеть математику, как бы хорошо они ее ни выучили. Они не должны пытаться стать математиками, а их учителя могут перестать заниматься с ними после того, как они доказали свою неспособность уже при изучении начального курса. Но если преподавать математику правильно, то ненавидеть ее будет гораздо меньше людей, чем сегодня.
Существуют разные пути, которыми можно прививать любовь к математике. Один из методов был интуитивно использован отцом Галилея, который сам был математиком, но не смог зарабатывать на жизнь с помощью своей профессии. Он решил, что его сын должен уметь делать нечто более выгодное и прибыльное, и с этой целью с самого детства скрывал от него само существование математики. Но однажды, согласно преданию, юноша 18 лет отроду услышал лекцию по геометрии, которую читал профессор в соседней аудитории. Он был восхищен и в течение очень короткого времени стал одним из ведущих математиков того времени. Однако я сомневаюсь, чтобы этот метод был принят к использованию государственными чиновниками в области образования. Думаю, что есть и другие, более пригодные для успешного широкого применения, методы обучения математике.
На начальном этапе всякое обучение математике должно начинаться с практических проблем; это должны быть легкие проблемы, которые могли бы заинтересовать ребенка. В моей юности (возможно, ничего в этом плане и не изменилось с тех пор) предлагали решать такие проблемы, что никто в принципе не пожелал бы их решать. Например: A, B, C едут из X в Y. A пешком, B – на лошади. C-на велосипеде. A всегда засыпает в нечетные моменты времени, у B захромала лошадь, а у велосипеда C лопнула шина. A понадобилось бы в два раза больше времени, чем понадобилось бы B, если бы у него не захромала лошадь, а C приехал бы на полчаса позже A, если бы тот не заснул и т. д. Даже наиболее ревностным студентам наскучили подобные задачи.
Самый лучший способ в преподавании математики – это экскурс в раннюю историю математики. Этот предмет был изобретен потому, что существовали практические проблемы, которые люди на самом деле хотели решить – из-за любопытства или по неотложным практическим причинам. Рекики рассказывали бесконечные истории о подобных проблемах, и умные люди находили им решение. Несомненно часто эти истории были выдумкой, но это не имеет значения, если они используются в качестве иллюстрации. Я напомню некоторые из них, не ручаясь за их историческую точность.
Основателем греческой математики и философии был Фалес, молодой человек, живший в 600 г. до н. э. Путешествуя, он посетил Египет, и египетский фараон спросил его, может ли он определить высоту пирамиды Хеопса. Фалес в определенный момент времени измерил длину тени от пирамиды и свою собственную тень. Очевидно, что соотношение его роста к длине его тени было то же самое, что и соотношение высоты пирамиды к длине отбрасываемой ею тени, поэтому ответ был найден посредством решения уравнения с одним неизвестным. Затем фараон спросил Фалеса, может ли он определить расстояние до корабля, находящегося в море, оставаясь на суше. Это более сложная задача, и трудно дать ей какое-то общее решение, хотя, судя по легенде, Фалесу это удалось. В принципе нужно наблюдать направление движения корабля с двух точек на суше, расстояние между которыми известно; чем дальше будет корабль, тем меньше разница между этими двумя направлениями движения. Полный ответ требует использования тригонометрии, которая была изобретена много сотен лет спустя. Однако в конкретных случаях можно легко найти ответ. Предположим, например, что берег простирается с востока на запад, корабль находится на севере в определенной точке A от берега и на северо-западе в определенной точке B. Тогда расстояние от A до корабля равно расстоянию от A до B, в чем читатель может легко убедиться, начертив соответствующую фигуру. Предположим, на корабле находятся вражеские силы, а египетские войска вышли на берег отразить их удар. В такой ситуации знание расстояния, на котором находится корабль от берега, будет весьма полезным.
Настоящая математика начинается с достижения, известного как теорема Пифагора. Египтяне сделали некоторые первые шаги в геометрии для того, чтобы, как говорят, измерять рисовые поля после наводнений. Они заметили, что треугольник, стороны которого соответственно 3,4 и 5 единиц длины, имеет прямой угол. Пифагор (или какой-то его ученик) отметил интересный факт в отношении этого треугольника. Если вы построите квадраты на сторонах этого треугольника, один из них будет иметь 9 квадратных единиц, другой 16, а третий – 25, а 9 + 16 = 25. Пифагор (или его ученик) обобщил этот факт и доказал, что в любом прямоугольном треугольнике квадраты коротких сторон в сумме равны квадрату длинной стороны. Это было наиболее важное открытие, воодушевившее греков на создание науки геометрии, что они и сделали с изумительным мастерством.
Но помимо этого открытия возникло и беспокойство, которое тревожило как греков, так и современных математиков и было полностью устранено лишь совсем недавно. Предположим, дан прямоугольный треугольник, в котором катеты имеют длину один дюйм; в таком случае какую длину будет иметь третья сторона? Квадрат каждого катета равен одному квадратному дюйму, следовательно квадрат гипотенузы будет равен двум квадратным дюймам. Значит длина гипотенузы должна измеряться таким числом, чтобы квадрат этого числа был равен 2. Это число называется «квадратный корень из 2». Греки вскоре сделали открытие, что такого числа нет. Вы сами можете легко в этом убедиться. Это число не может быть целым, поскольку 1 для него слишком мала, а 2 – слишком велика. А если вы умножите дробь на дробь, то вы получите другую дробь, но не целое число; поэтому ни одна дробь, помноженная на самое себя, не даст вам 2. Значит, квадратный корень из двух не является ни целым числом, ни дробью. Чем это может быть еще, оставалось тайной, но математики продолжали с надеждой использовать этот пример, говорить о нем, ожидая, что однажды они поймут, о чем они говорят. И в конце концов эти надежды оправдались.
Сходная проблема возникла с тем, что называется «кубический корень из 2». Иными словами, с числом x таким, что x, помноженное на x, помноженное на х равно 2. Некий город, согласно легенде, страдал от разного рода напастей и, наконец, послал гонца к Дельфийскому оракулу, чтобы узнать причину этих несчастий. Бог сообщил, что его статуя в посвященном ему храме в этом городе слишком мала, и он хочет, чтобы статуя была в два раза больше. Жители поспешили выполнить пожелание Господа и сначала решили сделать статую в два раза выше, чем прежняя. Но потом они поняли, что она должна быть также в два раза шире и толще, на что понадобится в восемь раз больше материала, значит на самом деле статуя будет в восемь раз больше. Но это больше, чем приказал оракул, и большая трата денег. Насколько тогда должна быть шире старой новая статуя, если в целом она должна быть в два раза больше? Жители послали гонца к Платону узнать, может ли кто-нибудь из его школы помочь им найти ответ. Платон сформулировал проблему для математиков. Однако лишь несколько столетий спустя они сделали вывод, что данная проблема неразрешима. Конечно, можно найти приблизительное решение, но так же, как и в случае с квадратным корнем из двух, ни одна из дробей не дает точного ответа. Несмотря на то, что проблема не была решена, в поисках ее решения было проделано много полезной работы.