Как выяснил на собственном горьком опыте царь, удвоение только сначала выглядит невинно, а потом очень быстро взлетает ввысь. Таково могущество экспоненциального роста. Этот эффект ощущают на себе те, кто занимает деньги, чтобы покрыть долги. На первый взгляд предложение компании, дающей 1000 фунтов под 5 процентов в месяц кажется спасительным. Месяц спустя вы оказываетесь должны ей всего 1050 фунтов. Но проблема заключается в том, что через каждый следующий месяц сумма долга умножается еще на 1,05. Через два года долг составляет уже 3225 фунтов. К пятому году он возрастает до 18 679 фунтов. Такая система очень выгодна кредитору, но не должнику.
Тот факт, что многие не понимают этого паттерна экспоненциального роста, означает, что он вполне может быть шорткатом к разорению. Компании, выдающие «кредиты до зарплаты», успешно пользуются такой неспособностью понять, к чему приведет в будущем этот паттерн, навязывая беззащитным клиентам договоры, выглядящие на первый взгляд весьма привлекательно. Чтобы не разориться и не оказаться в беспомощном положении, без какой бы то ни было возможности вернуться в безопасное состояние, важно вовремя понять, насколько опасно удвоение и куда оно может нас завести.
Все мы познали ужасающую скорость экспоненциального роста – с дорого обошедшимся нам запозданием – на примере пандемии коронавируса 2020 года. Число инфицированных удваивалось в среднем каждые три дня, и это привело к перегрузке системы здравоохранения.
В то же время могущество экспоненциальной зависимости также помогает объяснить, почему на Земле (вероятно) нет вампиров. Чтобы выжить, вампиру нужно питаться человеческой кровью не реже раза в месяц. Проблема заключается в том, что тот, чьей кровью питается вампир, тоже становится вампиром. Поэтому в следующем месяце вампиров, ищущих человеческой крови, становится в два раза больше.
Численность населения мира оценивается приблизительно в 6,7 миллиарда человек. Численность вампиров каждый месяц удваивается. Сокрушительная сила удвоения такова, что всего за 33 месяца один-единственный вампир превратит в вампиров все население мира.
На случай же, если вы все-таки встретитесь с вампиром, вот вам полезный прием из арсенала математика, позволяющий защититься от кровососущего чудовища. Помимо классических средств – чеснока, зеркал, распятий – есть один довольно необычный способ избавиться от Князя Тьмы: нужно рассыпать вокруг его гроба маковое семя. Оказывается, вампиры страдают арифмоманией – патологическим стремлением считать. Теоретически Дракула не должен успеть закончить подсчет маковых семян, рассыпанных вокруг его ложа, пока взошедшее солнце не загонит его обратно в гроб.
Арифмомания – тяжелое заболевание. Этим расстройством страдал изобретатель Никола Тесла, исследованиям которого в области электричества мы обязаны переменным током. Он был одержим числами, делящимися на три: требовал, чтобы у него каждый день было ровно 18 чистых полотенец, и считал свои шаги, чтобы их число непременно делилось на три. Возможно, самое известное из художественных описаний арифмомании – это образ Графа фон Знака из «Улицы Сезам», вампира, который помог многим поколениям телезрителей сделать первые шаги по пути математики[17].
Паттерны городские
Вот чуть более трудная последовательность чисел. Сможете ли вы найти паттерн в ней?
179, 430, 1033, 2478, 5949 …
Здесь нужно разделить каждое число на предыдущее. Коэффициент получается равным 2,4. Это по-прежнему экспоненциальный рост, но интересно не это, а то, что́ на самом деле выражают эти числа.
Это количество патентов, выданных в городах с населением 250 000, 500 000, 1 миллион, 2 миллиона и 4 миллиона человек. Оказывается, что при удвоении населения города число патентов не просто удваивается, как можно было бы предположить. Чем крупнее город, тем более творческим он кажется. По-видимому, удвоение численности населения добавляет к творческому потенциалу лишние 40 процентов! И такой паттерн роста проявляется не только в патентах.
Несмотря на огромные культурные различия между Лондоном, Рио-де-Жанейро и Гуанчжоу, существует математический паттерн, связывающий все города от Бразилии до Китая. Мы привыкли описывать их, опираясь на особенности их географического положения и истории, подчеркивая индивидуальные отличия каждого места – Нью-Йорка или Токио. Но это всего лишь детали, интересные случайности, мало что объясняющие. Если же взглянуть на город глазами математика, начинают проявляться универсальные черты, не зависящие от политических и географических границ. Эта математическая точка зрения позволяет понять, чем именно привлекают нас города… и доказывает, что чем больше, тем лучше.
17
Имя графа в оригинале –