Упражнение 1.12. Получите выражение для емкости двух последовательно соединенных конденсаторов.
Подсказка: так как точка соединения конденсаторов не имеет внешних подключений, то заряд, накопленный двумя конденсаторами, должен быть одинаков.
* * *
Для анализа цепей переменного тока (или в общем случае схем, работающих с изменяющимися напряжениями и токами) можно использовать характеристики двух типов. Во-первых, можно рассматривать изменения напряжения U и тока I во времени, а во-вторых, — изменение амплитуды при изменении частоты сигнала. И те, и другие характеристики имеют свои преимущества, и в каждом практическом случае приходится выбирать наиболее подходящие. Мы начнем изучение цепей переменного тока с временных зависимостей, а в разд. 1.18 перейдем к частотным характеристикам.
Каковы же свойства схем, в состав которых входят конденсаторы? Для того чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим простейшую RС-цепь (рис. 1.29).
Рис. 1.29.
Воспользуемся полученным ранее выражением для емкости:
C(dU/dt) = I = — U/R.
Это выражение представляет собой дифференциальное уравнение, решение которого имеет вид
U = A·e-t/RC.
Отсюда следует, что если заряженный конденсатор подключить к резистору, то он будет разряжаться так, как показано на рис. 1.30.
Рис. 1.30. Сигнал разряда RС-цепи.
Постоянная времени. Произведение RC называют постоянной времени цепи. Если R измерять в омах, а С — в фарадах, то произведение RC будет измеряться в секундах. Для конденсатора емкостью 1 мкФ, подключенного к резистору сопротивлением 1 кОм, постоянная времени составляет 1 мс, если конденсатор был предварительно заряжен и напряжение на нем составляет 1 В, то при подключении резистора в цепи появится ток, равный 1 мА.
На рис. 1.31 показана несколько иная схема.
Рис. 1.31.
В момент времени t = 0 схема подключается к батарее. Уравнение, описывающее работу такой схемы, выглядит следующим образом:
I = C(dU/dt) = (Uвх - U)/R
и имеет решение
U = Uвх + Ae-t/RC.
Не пугайтесь, если не поняли, как выполнено математическое преобразование. Важно запомнить полученный результат. В дальнейшем мы будем многократно его использовать, не прибегая к математическим выкладкам. Постоянная величина А определяется из начальных условий (рис. 1.32): U = 0 при I = 0, откуда А = — Uвх и U = Uвх(1 — e-t/RC).
Рис. 1.32.
Установление равновесия. При условии t >> RC напряжение достигает значения Uвх. (Советуем запомнить хорошее практическое правило, называемое правилом пяти RC. Оно гласит: за время, равное пяти постоянным времени, конденсатор заряжается или разряжается на 99 %.) Если затем изменить входное напряжение Uвх (сделать его равным, например, нулю), то напряжение на конденсаторе U будет убывать, стремясь к новому значению по экспоненциальному закону e-t/RC.
Например, если на вход подать прямоугольный сигнал Uвх, то сигнал на выходе U будет иметь форму, показанную на рис. 1.33.
Рис. 1.33. Напряжение, снимаемое с конденсатора (верхние сигналы), при условии, что на него через резистор подается прямоугольный сигнал.
Упражнение 1.13. Докажите, что время нарастания сигнала (время, в течение которого сигнал изменяется от 10 до 90 % своего максимального значения) составляет 2,2RC.
У вас, наверное, возник вопрос: каков закон изменения для произвольного Uвх(t)? Для того чтобы ответить на него, нужно решить неоднородное дифференциальное уравнение (стандартные методы решения таких уравнений здесь не рассматриваются). В результате получим