* * *
Что бы ни было получено с помощью построения материально адекватной дефиниции истины для какого-либо научного языка, один факт, видимо, будет несомненным: эта дефиниция не дает нам пригодного критерия, на основании которого можно было бы определить, является ли некоторое частное предложение в данном языке истинным или ложным (и она, конечно, вообще не предназначается для этой цели). Рассмотрим, например, следующее предложение: «Три биссектрисы любого треугольника пересекаются в одной точке». Если нас интересует вопрос, истинно ли это предложение, и мы обратимся за ответом к дефиниции истины, нас постигнет разочарование. Единственная информация, которую мы получим, будет состоять в том, что данное высказывание является истинным в том случае, если биссектрисы треугольника всегда пересекаются в одной точке, и ложным, если они не всегда пересекаются в одной точке. Но только геометрическое исследование может решить, как обстоит дело в действительности. Аналогичные замечания применимы к высказываниям из области любых других частных наук: решение вопроса о том, истинно данное предложение или нет, является задачей конкретной науки, а не логики или теории истины.
Некоторые философы и методологи склонны отрицать любую дефиницию, которая не даёт критерия для решения вопроса о том, подпадает ли данный частный объект под определяемое понятие, или нет. В методологии эмпирических наук такая тенденция представлена доктриной операционализма. Философы-математики, принадлежащие к конструктивистской школе, также, видимо, обнаруживают подобную тенденцию. Однако, в обоих случаях люди, придерживающиеся такого мнения, оказываются в меньшинстве. Достаточно очевидно, что при последовательном проведении этой программы многие отрасли современной математики должны были бы исчезнуть, а теоретические разделы многих эмпирических наук (физики, химии, биологии) — претерпеть существенные деформации. Дефиниции таких понятий, как атом или ген, так же как и большинство дефиниций в математике, не содержат каких-либо критериев для решения вопроса о том, подпадает ли тот или иной объект под термин, определенный именно таким образом.
Поскольку дефиниция истины сама по себе не обеспечивает нас критерием истинности и в то же время поиски истины справедливо рассматриваются как сущность научной деятельности, проблема нахождения по крайней мере частичных критериев истины и разработки процедур, которые могли бы позволить нам признать или отрицать истинность как можно большего количества высказываний, представляется очень важной. Такие процедуры, конечно, известны, некоторые из них применяются исключительно в эмпирических науках, другие — преимущественно в дедуктивных. Понятие доказательства — второе понятие, обсуждаемое в данной статье, — относится именно к процедуре установления истинности предложений в дедуктивных науках. Эта процедура является существенным элементом того, что известно под названием аксиоматического метода — метода, наиболее широко используемого в настоящее время для разработки и изложения математических дисциплин.
Аксиоматический метод является продуктом длительного исторического развития. Некоторые представления об этом развитии будут, вероятно, существенными для понимания современного понятия доказательства.[7] Первоначально математика была совокупностью высказываний, касавшихся некоторого класса объектов или феноменов. Эта совокупность не имела никакого структурного порядка; высказывание рассматривалось как истинное либо потому, что казалось интуитивно очевидным, либо потому, что было доказано на основе некоторых интуитивно очевидных высказываний (то есть если было показано посредством некоторого интуитивно несомненного аргумента, что оно есть следствие этих высказываний). Критерий интуитивного доказательства (и интуитивной несомненности аргументов) применялся без каких-либо ограничений. Каждое предложение, признаваемое за истинное на основании этого критерия, автоматически включалось в дисциплину. Такое описание, по-видимому, соответствует, например, геометрии в том виде, как она была известна древним египтянам и грекам доевклидова периода.
7
Идеи, представленные в последующей части этого раздела, подробно разработаны в моей книге «Введение в логику и методологию дедуктивных наук». М., ИЛ, 1949, гл. VI. Некоторые очень близкие идеи могут быть обнаружены в более ранней литературе. Например, в статье Б. Паскаля «De l’esprit geometrique et de l’art de persuader». In: B. Pascal. Oeuvres complètes. Paris, 1954.