Если говорить об обстоятельствах, способствовавших созданию исчисления, следует упомянуть еще об одном крупном направлении в математике XVII века — аналитической геометрии.
Существует еще одна причина, которую можно назвать теологической, благодаря которой в XVII веке бесконечность стала использоваться более свободно, чем в Древней Греции. Это связано с восприятием бесконечности как атрибута всемогущего христианского Бога. Следуя заветам Аристотеля, богословы отказывали человеку в возможности понять актуальную бесконечность, но им не оставалось другого выбора, кроме как перевести это понятие в область богословия. Так, Фома Аквинский рассматривал Бога как полную и всеобъемлющую актуальную бесконечность.
Такая трактовка достаточно часто встречается в трудах философов XVII века. Подтверждение этому мы находим у Декарта: «Мыслю некоего вышнего Бога — вечного, бесконечного, всеведущего, всемогущего, творца всех сущих, помимо него самого, вещей», а также: «Что же до Бога, я считаю его столь бесконечным, что к его совершенству ничего уже нельзя добавить»; у Спинозы: «Под Богом я разумею существо абсолютно бесконечное (ens absolute infinitum), то есть субстанцию, состоящую из бесконечно многих атрибутов, из которых каждый выражает вечную и бесконечную сущность», а также у Лейбница: «Следует считать, что эта божественная субстанция, неделимая, универсальная и непреложная, не должна иметь пределов и содержать всю реальность, какую только возможно».
Некоторые из этих философов также были учеными и математиками. Лейбниц, например, был одним из создателей математического анализа. Ньютон, еще один из отцов-основателей анализа, также был богословом и верил во всемогущего Бога.
Аналитическая геометрия позволила сопоставить кривым уравнения. Например, окружности единичного радиуса, то есть кривой, все точки которой отстоят на одну единицу от фиксированной точки, называемой центром, соответствует уравнение x2 + y2 = 1. Также стало возможным сопоставить уравнениям кривые, в результате чего математики смогли изучить намного больше кривых. Теперь, чтобы задать новую кривую, вместо определения ее геометрических свойств требовалось лишь написать соответствующее уравнение. Кроме того, стало возможным применение алгебраических методов для решения геометрических задач, в частности задач на вычисление площадей, определение углов наклона касательных и так далее.
На смену частным геометрическим методам пришли более общие — алгебраические. Например, расчет угла наклона касательной для разных кривых радикально отличался, а методы алгебры, в частности нахождение производной, позволяли определять угол наклона касательной одним и тем же способом для всех кривых. Для этого достаточно было использовать алгоритм, созданный на основе правил вычисления производной.
Следует осознать всю важность открытия этих общих правил, скрытых за неимоверным числом частных результатов, которые были накоплены за первые три четверти XVII века, Именно общие правила аналитической геометрии позволили Ньютону и Лейбницу стать первооткрывателями математического анализа.
Вычисление квадратуры и кубатуры
Вернемся в начало XVII века и расскажем подробнее о методах анализа бесконечно малых, ставших основой математического анализа. Начнем с методов вычисления площадей и объемов, или, говоря языком той эпохи, расчета квадратур и кубатур.
Из всех методов, появившихся в первой трети этого столетия для решения подобных задач, наиболее важным был метод неделимых, предложенный учеником Галилея, преподавателем Болонского университета Бонавентурой Кавальери (1598— 1647). В одном ряду с ним стоят только методы вычисления объема, разработанные Кеплером, которые использовались австрийскими виноделами при изготовлении бочек.