Из всех математических открытий Ньютона, вне всяких сомнений, открытие анализа бесконечно малых было наиболее важно и имело наиболее значимые последствия.
Первые идеи о математическом анализе появились у Ньютона в наиболее знаменательный период его жизни — в 1665—1666 годы. В рукописи, написанной им за несколько лет до смерти в 1727 году, мы читаем: «В начале 1665 года я открыл метод приближенного вычисления с помощью рядов, а также правило, по которому можно свести бином любой степени к такому ряду. В мае того же года я открыл метод построения касательных Грегори и де Слюза, а в ноябре получил метод флюксий. В январе следующего года я развил теорию цветов, в мае начал работать над обратным методом флюксий. В том же году я начал размышлять о тяготении применительно к орбите Луны и на основе законов Кеплера определил силы, которые удерживают планеты на орбитах».
Его первая работа по математическому анализу «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов» (De analysi per aequationes numero terminorum infinitas) была завершена в 1669 году, но опубликована только в 1711-м.
Эту книгу Ньютон написал в конце июня 1669 года (точные даты неизвестны) всего за несколько дней, взяв за основу результаты собственных исследований, проведенных в 1664 году. Ньютон использовал разложение логарифмической функции в степенной ряд, описанное Николасом Меркатором в книге Logarithmotechnia. Он также руководствовался слухами и предположениями о том, какими исследованиями в то время занимались другие ученые.
«Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов» имел огромную ценность. После публикации этой работы, несмотря на ее небольшой объем, Ньютон был признан создателем анализа бесконечно малых, а его труд — основополагающим в этом новом разделе математики. В первой части книги Ньютон показывает, как с помощью степенного ряда можно произвести расчет квадратуры для множества функций, используя в качестве основы базовую квадратуру
Рассуждения Ньютона стоит изложить подробнее. Для простоты мы приведем частный случай, описанный самим Ньютоном, для площади, ограниченной кривой, которая задается следующей формулой:
Ньютон действовал так.
Увеличим на бесконечно малую величину, которую обозначим за о (это обозначение использовал сам Ньютон) абсциссу х. Площадь увеличится на площадь прямоугольника с вершинами x, y(x), y(x + o) и x + o, как показано на иллюстрации. Возьмем прямоугольник со сторонами o и v такой, что его площадь будет равна упомянутому приращению площади. Получим:
Возведя обе части в квадрат и упростив равенство, получим:
Разделив обе части на о, получим:
Если теперь мы примем прирост х бесконечно малым, то есть приравняем o к нулю, то v = y, и предыдущая формула примет вид
Отсюда следует, что площадь, ограниченная кривой у = х2, равна 2/3 ∙ 3/2 x. Может показаться, что Ньютон пытался вычислить площадь, ограниченную кривыми определенного типа, но в действительности полученный им результат намного важнее. В первой части «Анализа» Ньютон хотел изложить общий алгоритм и подчеркнуть, что он применим не только в задачах расчета площади, «Все задачи о длине кривых, о величинах и о поверхностях тел и о центрах тяжести могут быть сведены в конце концов к определению плоской поверхности, ограниченной кривой», — делает он крайне важное замечание, за которым следует раздел под названием «Приложение вышеизложенного к другим примерам того же рода». Это замечание отделяет первую часть работы, в которой изложен общий метод, от второй, в которой излагаются различные способы его применения. Можно сказать, что результат его работы несколько неопределен: Ньютон видел огромную ценность найденного им абстрактного метода, однако, возможно, на начальном этапе, когда идея еще не оформилась окончательно, ему было сложно выразить ее доступно. Скорее всего, на этом этапе ему попросту не хватало терминов и обозначений. Он сосредоточил основное внимание на абстрактной задаче определения функции по известной производной. Кроме того, он рассматривает и обратную задачу о вычислении изменения функции (об этом рассказывается в конце книги). Наконец, он приводит краткий алгоритм расчета этого изменения (производной). Четкие правила вычисления производной позднее опубликовал Лейбниц, но не будем забывать, что в «Анализе» Ньютон изложил не все результаты, полученные им в области математического анализа к 1669 году.