или
Поскольку стороны А и В увеличиваются на другую половину моментов, прямоугольник превратится в:
или
Вычтем из этого прямоугольника предыдущий прямоугольник и получим излишек aВ + bА. Следовательно, приращение aВ + bА прямоугольника генерируется общими приращениями сторон а и b. Что и требовалось доказать». Если мы запишем приращение А как dА, а приращение В — как dB (Ньютон решительно воспротивился бы использованию подобных обозначений, так как их использовал его противник Лейбниц), то получим знакомое нам правило вычисления производной произведения: d(АВ) = AdB + BdA.
Мы уже упоминали, что Ньютон ссылался на открытую им в самый знаменательный период его жизни теорему о биноме, то есть о разложении (1 + x)m/n в степенной ряд. Однако она стала достоянием общественности лишь десять лет спустя, в 1676 году, причем в сокращенном виде. Ньютон упомянул о ней в первом из двух писем, отправленных Лейбницу через секретаря Лондонского королевского общества Генри Ольденбурга. В этом письме, озаглавленном Epistolae prior, Ньютон, отвечая на вопросы Лейбница, изложил свою теорему о биноме и другие результаты, касающиеся рядов.
Теорема о биноме легла в основу созданного им анализа бесконечно малых. По сути, именно с помощью бинома Ньютон разложил в ряд большинство элементарных функций: обратных тригонометрических (их производные можно найти с помощью бинома), а на их основе и тригонометрических функций. Аналогично он вычислил производные логарифмических и показательных функций.
Некоторые из полученных результатов уже были известны. Разложение в ряд для логарифмической функции впервые приводится в уже упоминавшейся книге Николаса Меркатора Logarithmotechnia (1668).
Высокомерный гений
Ньютон никогда не был склонен благодарить других за вклад в его открытия, однако требовал от остальных признания того, чем якобы они были обязаны ему. Ньютону нередко приписывают такую фразу: «Если я видел дальше других, то потому, что стоял на плечах гигантов», которую считают выражением благодарности и признанием заслуг других ученых. Эта фраза содержится в одном из писем Ньютона к Гуку, датируемом 1676 годом. Эти письма помогли хотя бы формально уладить разногласия в споре о природе света и цветов. Цитата Ньютона восходит к Иоанну Солсберийскому, который в своем трактате «Металогик» (1159) цитирует Бернара Шартрского: «Мы подобны карликам, стоящим на плечах гигантов: мы видим больше и смотрим дальше не потому, что наше зрение острее, и не потому, что мы выше, а потому, что можем забраться высоко благодаря росту гигантов».
Эту фразу можно считать выражением благодарности Ньютона Гуку, на плечи которого, фигурально выражаясь, забрался Ньютон, чтобы видеть дальше. Однако возможна и другая, более замысловатая трактовка, которую приводит Ф. Мэнюэль и в основе которой лежит тот факт, что Роберт Гук был низкорослым и горбатым: «5 февраля 1676 года Ньютон ответил избитой фразой, часто упоминавшейся в спорах о прогрессе, которая восходит как минимум к Иоанну Солсберийскому и часто приводится вне контекста как признание заслуг предшественников Ньютона: “Если я видел дальше других, то потому, что стоял на плечах гигантов”.
Если рассматривать эту фразу в контексте и учитывать психологическую атмосферу переписки 1676 года, то эта цитата выглядит сложной и даже неоднозначной. <…> Явно не упоминаемый образ карлика, который взобрался на плечи гиганта, выглядит не вполне прилично. Эта фраза со стороны Ньютона, обращенная к Гуку, выглядит издевательской аналогией. На первый взгляд может показаться, что Ньютон сравнивает Гука с гигантом, а себя считает карликом по сравнению с ним. Однако эта фраза относилась к низкорослому и горбатому человеку, поэтому Ньютон насмехается над ним, вольно или невольно». Вестфолл не разделяет взгляда Мэнюэля и считает, что Ньютон не допускал себе столь резких нападок на оппонентов: «Когда он нападал, то склонял голову и выдвигал обвинения прямо».
Еще одно доказательство нежелания Ньютона признавать, что он научился чему-то у других, прослеживается в его отношениях с Декартом. Именно у Декарта он научился аналитической геометрии, сыгравшей важнейшую роль в создании анализа бесконечно малых. Несмотря на это, Ньютон говорил, что испытывает глубокую неприязнь к французскому ученому. Когда Ньютон перечитывал «Геометрию» Декарта примерно в 1680 году, он заполнил поля пометками «осуждаю», «ошибка», «это не геометрия». Он даже написал черновик статьи под названием «Ошибки в «Геометрии» Декарта» (Errors in Descartes’ Geometry). Он называл аналитическую геометрию «языком мошенников от математики». В 1684 году Ньютон оставил про пуск в том месте рукописи, где должно было упоминаться имя Декарта, словно хотел забыть обо всем, чему научился у него: «Я размышлял над этими вопросами около девятнадцати лет, сравнивая между собой открытия и Худде».