Бесконечно малые величины играли в математическом анализе Лейбница заметно большую роль. Например, они фигурировали в самом определении кривой, которым пользовался Лейбниц. Для Ньютона кривая была образована точкой в движении: «Полагаю математические величины не состоящими из очень малых частей, а описываемыми непрерывным движением. Кривые, таким образом, описываются и создаются не расположением частей, а непрерывным движением точек». Лейбниц же считал, что кривые состоят из отрезков прямой бесконечно малой длины: «Чтобы найти касательную, надо провести прямую, соединяющую две точки кривой, расположенных на бесконечно малом расстоянии, или продленную сторону многоугольника с бесконечным числом углов, который для нас равносилен кривой», — писал Лейбниц в 1684 году.
Понятие кривой еще более четко описывается в книге «Анализ бесконечно малых» маркиза Лопиталя (1696). Второй постулат книги звучит так: «Будем предполагать, что кривую линию можно считать состоящей из бесконечного числа бесконечно малых линий, или, что аналогично, многоугольником с бесконечным числом сторон, каждая из которых имеет бесконечно малую длину, а кривизна линии определяется углами между этими сторонами».
Лейбниц объяснял использование бесконечно малых подобно своим предшественникам: «Выбираются столь большие или столь малые величины, чтобы ошибка была меньше данной, так что различия с методом Архимеда заключаются лишь в способе записи, но наш метод более соответствует духу изобретательства». Лейбниц попал в самую точку: в то время ученых больше интересовали открытия, а не доказательства.
Книга Беркли «Аналитик» имела подзаголовок: «Трактат, адресованный неверующему математику». Этим «неверующим математиком», скорее всего, был астроном Эдмунд Галлей, который всегда славился атеистическими взглядами и как-то заставил больного отказаться от посещения епископа Беркли, убедив его в непрочности доктрин христианства. В своей книге Беркли хотел показать, что рассуждения анализа бесконечно малых столь же непрочны, как и религиозные догмы. Второй подзаголовок книги звучит так; …где исследуется, является ли предмет, принципы и заключения более отчетливо познаваемыми и с очевидностью выводимыми, чем религиозные таинства и положения веры». Он добавлял: «Извлеки бревно из глаза своего, и сможешь извлечь соринку из глаза брата твоего».
В своей книге Беркли также приводит ряд вопросов, над которыми полагается размышлять. Процитируем некоторые из них: «Вопрос 62. Разве непостижимые тайны не могут с большим правом допускаться в божественной вере, чем в человеческой науке? Вопрос 63. Разве те математики, которые резко выступают против непостижимых тайн, когда-либо критически исследовали собственные принципы?»
«Призраки исчезнувших величин»
Несмотря на огромный шаг вперед, который позволил совершить анализ бесконечно малых Ньютона и Лейбница, критика в адрес недостаточной прочности его основ была обоснованной.
Наиболее ярым критиком был английский епископ и философ Джордж Беркли. В 1734 году он опубликовал книгу под названием «Аналитик», где в критическом духе были рассмотрены основные идеи анализа с целью продемонстрировать их недостаточную логичность.