Коши удалось создать математическое течение, целью которого было добиться большей строгости доказательств. Это течение стало основополагающим для математики XIX века.
Эту точку зрения он пытался донести до своих учеников в Политехнической школе, где преподавал с 1817 по 1830 год, а также излагал в своих работах. Основными его трудами, о которых мы упомянем, были «Курс анализа» (1821) и «Резюме лекций по исчислению бесконечно малых» (1823).
«Курс анализа» был ответом Коши на критику со стороны его коллег по ученому совету Политехнической школы, высказанную в адрес его методики преподавания механики и анализа студентам первого года обучения. Во введении он явно указывает цель своей работы: «Я попытался изложить методы, требуемые геометрией, никогда не обращаясь к аргументам, следующим из общности алгебры. Рассуждения такого типа, которые иногда допускаются, особенно при переходе от сходящихся рядов к расходящимся и от вещественных величин к мнимым, лишь указывают путь к истине и не связаны с точностью, которой должна гордиться математика». «Общность алгебры», о которой упоминает Коши, означает признанный всеми с конца XVI века факт, согласно которому все, что верно для вещественных чисел, так же верно и для комплексных; все, что верно для конечных величин, применимо и к бесконечным; все, что верно для сходящихся рядов, верно и для расходящихся.
В качестве основного понятия анализа бесконечно малых Коши предложил понятие предела, которое определил так: «Когда последовательные значения переменной бесконечно приближаются к конкретному значению так, что в итоге отличаются от него на произвольно выбранную величину, последнее значение называется пределом остальных».
Используя понятие предела, Коши определил бесконечно малые как переменные, которые стремятся к нулю: «Когда последовательные значения переменной бесконечно уменьшаются так, что становятся меньше любой заданной величины, эта переменная называется бесконечно малой. Предел таких переменных равен нулю».
Он также ввел понятие предела последовательности, которое с дополнениями Вейерштрасса используется и сейчас. Коши также установил, что можно говорить о сумме ряда лишь в том случае, когда он сходится, и определил ее как предел последовательности частичных сумм ряда.
На пятистах страницах «Курса анализа» также приводятся определения непрерывной функции, комплексного числа, формулируются критерии сходимости рядов и так далее.
Работы Коши о сходимости рядов вызвали большое возбуждение. Рассказывают, что после собрания Французской академии наук, где ученый изложил свои идеи о сходимости рядов, обеспокоенный Лаплас заперся у себя дома и не выходил, пока не проверил, что все ряды, использованные им в «Небесной механике», сходятся, и лишь тогда вздохнул с облегчением.
Коши планировал, что «Курс анализа» будет состоять из двух томов, но неблагоприятные отзывы заставили его отказаться от написания второго тома. Суть критики сводилась к тому, что книга, по мнению руководства Политехнической школы, не подходила для образования будущих инженеров. Поэтому Коши решил пересмотреть идею о публикации второго тома и вместо этого выпустил дополнение к «Курсу анализа», представлявшее собой краткое изложение его лекций. Первый том увидел свет в 1823 году под названием «Резюме лекций по исчислению бесконечно малых», где давалось современное определение производной как предела
когда h стремится к 0.
Огюстен Луи Коши родился в 1789 году, спустя несколько месяцев после начала Великой французской революции. Он занимает почетное место среди ведущих математиков первой половины XIX века. Благодаря ему был сделан значимый шаг в сторону большей логической строгости математических рассуждений. Так, в статье Энциклопедии Британника о нем сказано: «Коши был одним из величайших математиков современности. Одним из наиболее значительных его достижений является четкость и строгость введенных им методов. Первый этап логической строгости, характерной для современной математики, берет начало в его лекциях и книгах по математическому анализу, написанных в 1820-1830 годах». Также всегда указывается, что он был разносторонне образованным человеком и интересовался классическими языками. Он был ревностным католиком и яростно защищал право Бурбонов на французский престол, дарованное Богом. «Его коллеги часто упрекали его в непреклонном ханжестве и агрессивном религиозном фанатизме»,- говорится об этом в уже упомянутой Энциклопедии Британника. Он был преподавателем Политехнической школы и членом Французской академии наук. По политическим мотивам ему пришлось покинуть Францию на период с 1830 по 1838 год. Умер Коши в 1857 году.