Название этой главы — «Укрощенные бесконечно малые» — указывает, что Коши совершил решающий шаг, преодолев с помощью теории пределов логические проблемы, возникавшие в анализе бесконечно малых с XVII века. Как мы уже говорили выше, бесконечно большим и бесконечно малым величинам изначально не было дано логически строгого и четкого определения. В этом смысле, например, «Введение в анализ бесконечно малых» Эйлера является недостаточно логичным. По этой причине математики в итоге стали отдавать предпочтение пределам. Однако теперь нам известно, что рассуждения Эйлера с использованием бесконечно малых столь же строги, как и современные рассуждения, в которых используются пределы. Строго говоря, логический фундамент анализа XVIII века сформировал Абрахам Робинсон в 1966 году. На основе теории моделей он показал, что вещественные числа можно расширить множеством бесконечно малых, с которыми можно производить стандартные арифметические операции. Созданный им раздел математики получил название «нестандартный анализ».
Теперь, как и было обещано, мы расскажем об эстетической составляющей математики, так как рассуждения Эйлера во «Введении в анализ бесконечно малых» намного красивее, чем рассуждения, записанные с использованием пределов.
Математику часто называют сухой наукой, которая изучает идеальные абстрактные объекты, числа и треугольники, наукой, в которой нет места эмоциям. Это совершенно не так. Профессиональные математики выбрали свою профессию по разным причинам, но всех их объединяет одно: математика представляет для них источник сильных эмоций. Эрнест Уильям Хобсон (1856—1933) сказал о «Введении в анализ бесконечно малых»: «Будет непросто найти другой труд в истории математики, который оставляет у читателя такое впечатление о гениальности его автора, как этот». Любой, кто читал его, полностью согласится с Хобсоном. Это впечатление создается потому, что труд Эйлера вызывает бурные эмоции, оставляет след. Гениальность Эйлера нашла воплощение в красоте его работы, в ее эстетической ценности, выходящей далеко за рамки простой математики. Иными словами, эта книга не только обладает свойствами, о которых говорит Харолд Харди (1877—1947) в своей знаменитой «Апологии математика», рассуждая о красоте математических идей. В ней также присутствуют общие эстетические категории, о которых писали Иммануил Кант, Теодор Адорно и Джордж Сантаяна.
Один из самых удивительных результатов, содержащихся в труде Эйлера, как с математической, так и с эстетической точки зрения — это разложение функции синуса в бесконечный ряд:
а также то, как Эйлер использует этот ряд вместе с разложением в степенной ряд для нахождения суммы следующих бесконечных степенных рядов:
Живительно, что эти потрясающе красивые результаты, которые не смогли найти Лейбниц, братья Бернулли и, возможно, сам Ньютон, Эйлер смог вывести с помощью бесконечно малых всего на нескольких строках. Его рассуждения просты и гениальны, и можно четко проследить, какие идеи позволили ему совершить эти открытия. Если попытаться переписать эти рассуждения, используя теорию пределов, они теряют значительную долю простоты и красоты. Чтобы убедиться в этом, достаточно сравнить выкладки Эйлера во «Введении в анализ бесконечно малых» и последние страницы «Курса анализа» Коши (примечания VIII и IX). Коши пытается подтвердить правильность результатов Эйлера с помощью пределов, в результате чего элегантные и краткие рассуждения Эйлера, занимающие несколько строк, превращаются в несколько десятков страниц вычислений. Можно без преувеличения сказать, что Коши превратил деликатный эротизм Эйлера в порнографию.
Карл Вейерштрасс
В первой половине XIX века математики начали задумываться над тем, что постулаты евклидовой геометрии не являются априори истинными и что отрицание этих постулатов, в особенности постулата о параллельности прямых, может привести к созданию принципиально новой геометрии, столь же корректной, как и геометрия Евклида. Это было продемонстрировано в работах Николая Ивановича Лобачевского (1792—1856) и Яноша Бойяи (1802—1860). Этого же мнения придерживался великий Гаусс, однако он действовал излишне осмотрительно и поделился своими идеями лишь с немногими соратниками, из-за чего принятие неевклидовой геометрии в научных кругах происходило не так быстро, как могло бы. Процесс создания неевклидовой геометрии завершил Бернхард Риман (1826—1866). Риман в своем докладе «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», который он сделал 10 июня 1854 года с целью получить пост преподавателя в Гёттингенском университете, представил общую теорию геометрии, простиравшуюся намного дальше, чем частные случаи, описанные Лобачевским и Бойяи, которые были получены отрицанием постулата о параллельности прямых. Риман сделал основой своей геометрии утверждение, над которым другие математики размышляли в течение 50 лет: постулат о параллельности, равно как и любой другой постулат евклидовой геометрии, не является априори истинным в абсолютном пространстве, а, напротив, представляет собой эмпирический результат, полученный в процессе наблюдения той небольшой части пространства, что нас окружает. Спустя некоторое время после смерти Гаусса была опубликована его частная переписка, где он восхвалял новую геометрию предшественников Римана — Лобачевского и Бойяи. Если бы кто-то узнал о том, какой интерес и энтузиазм проявлял великий Гаусс по отношению к неевклидовой геометрии, это стало бы решающим толчком к ее широкому принятию.