Как следствие, это серьезно повлияло бы на вопросы, связанные с математической и логической строгостью. Корректность этих результатов, не проверенных эмпирическим путем, а доказанных строгими геометрическими рассуждениями, оставалась под сомнением. Таким образом, геометрия Евклида перестала быть неэмпирической дисциплиной, на основе которой с математической строгостью строились другие разделы математики. Ее место быстро заняла арифметика — раздел математики, изучающий числа и их свойства.
В этом смысле Карл Вейерштрасс (1815—1897) пересмотрел определение предела Коши и убрал из него геометрические элементы, в частности формулировки «бесконечно приближаются», «бесконечно уменьшаются» и «меньше любой заданной величины», заменив их арифметическими выражениями, в которых фигурировали величины эпсилон и дельта, используемые и сейчас: «Предел функции f(х) равен 1, когда x стремится к а, если для любого положительного ε > 0 существует другое положительное число δ > 0 такое, что для любой точки x, в которой определена данная функция, выполняется неравенство 0 < |f(x) — 1| < ε.
С конца 1850-х до конца 1880-х годов Вейерштрасс преподавал в Берлинском университете. Он не публиковал свои лекции, и данные им определения дошли до нас из конспектов его учеников. Начиная со второй половины XIX века Германия постепенно становилась мировым математическим центром, придя на смену Франции, что способствовало эффективному распространению анализа Вейерштрасса.
Заключение
Начиная с Эйлера и в особенности после того, как усилиями Коши и Вейерштрасса был выстроен фундамент анализа бесконечно малых, эта дисциплина стала ядром математического анализа. Функции, пределы, производные и интегралы — фундаментальные инструменты математического анализа. С их помощью великое множество физических, технических, экономических и даже медицинских задач можно свести к уравнениям, где будут одновременно использоваться функции, их производные и интегралы. Так, задачи поиска оптимальной формы крыла самолета, определения кровяного давления в венах и артериях организма или выявления роста раковых опухолей решаются с помощью уравнений такого типа.
Эти уравнения формулируются с использованием понятий математического анализа, в том числе анализа функций нескольких переменных, а также законов физики. Однако составить такие уравнения — это одно, а уметь решать их — совсем другое. Решения некоторых подобных уравнений были однозначно определены, уже когда Ньютон и Лейбниц создали анализ бесконечно малых, однако большинство из них настолько сложны, что и сегодня не существует способов их точного решения. Математический анализ также описывает методы приближенного и численного решения подобных уравнений, позволяющие найти их корни с определенной точностью. С появлением современных компьютеров в середине XX века в этой области математического анализа произошла революция.
Обычные люди, как правило, удивляются, когда слышат, что математики до сих пор совершают новые открытия. В действительности же их число с каждым годом увеличивается экспоненциально. Когда кто-то говорит, что занимается работами в новой области математики, несведущие задают вопрос: «А разве в ней еще не все известно?» Разумеется, это не так. Нам неизвестно множество уравнений, описывающих загадки природы, решение которых будет способствовать прогрессу человечества. Технологический прогресс и развитие медицинских и экономических методов ставят перед учеными новые задачи, и математикам ежедневно приходится их решать.