В 1906 году датский эрудит Йохан Людвиг Гейберг обнаружил в Константинополе палимпсест — древнюю рукопись, где сохранились следы более ранней рукописи с трудами Архимеда. Поверх этого математического трактата был написан молитвенник для воскресных служб и других христианских праздников. Среди найденных работ была и ранее неизвестная — «Метод». Судя по особенностям почерка, рукопись относится примерно к 975 году н. э., а религиозные тексты, написанные поверх нее, датируются примерно 1229 годом.
Архимед также был первым греческим математиком, вычислившим сумму бесконечного числа слагаемых. Он рассматривал следующую сумму:
Ее требовалось рассчитать, чтобы определить площадь, ограниченную участком параболы. Несмотря на бесконечное число слагаемых (все они являются степенями 1/4), значение суммы конечно. Чтобы вычислить его, Архимед применил следующий прием: он умножил сумму на 1 - 1/4. Получим:
Теперь разделим результат на (1 - 1/4). Так как 1 - 1/4 = 3/4, при делении получим:
Тот факт, что сумма бесконечного числа слагаемых равна конечному числу, доказывает, почему Ахиллес в действительности сможет догнать черепаху в знаменитой апории Зенона: сумма бесконечного числа временных интервалов, каждый из которых равен половине предыдущего, является конечной.
Как мы уже говорили, эта идея снова появилась в математике лишь в XVII веке, в работах Бонавентуры Кавальери, Грегуара де Сен-Венсана и других, о чем мы расскажем позднее. Этим математикам были известны труды Архимеда, которые были напечатаны примерно в середине XVI века, но не «Метод», поэтому они были вынуждены заново открыть этот прием, сыгравший основную роль в появлении исчисления.
От Архимеда до XVII века
Лишь в XVII веке математики овладели приемами, описанными в трудах Архимеда, что ускорило появление анализа бесконечно малых. Следует упомянуть, что до того ученые Средневековья и эпохи Возрождения совершили несколько открытий, без которых было бы невозможно появление математического анализа. Однако важнейшие из них не связаны напрямую с исчислением, поэтому мы расскажем о них лишь вкратце. Речь идет в первую очередь о потере и повторном обретении и освоении наследия древних греков. Ключевую роль также сыграло распространение по всей Европе индийской системы счисления. Этот длительный и непростой процесс начался в X веке, а позднее, в XIII—XVI веках, на севере Италии возникли школы абака — образовательные центры для тех, кто занимался торговлей.
В конце XVI века десятичная система счисления также начала применяться для записи рациональных и иррациональных чисел. Решающую роль в ее распространении наряду с Франсуа Виетом (1540—1603) сыграл Симон Стевин (1548—1620), хотя использованная им нотация была не совсем удобной. Стевин, уроженец бельгийского города Брюгге, развил свою идею по причинам практического характера: «Десятичная система счисления есть класс арифметики, в основе которого лежит идея о прогрессии с основанием 10, где используются арабские цифры так, что в этой системе может быть записано любое число; и любая операция, с которой мы имеем дело в торговле, может быть выполнена с помощью только целых чисел, без использования дробей». Он предложил унифицировать единицы мер и весов, а также денежные единицы с применением новой системы счисления, но эта идея была воплощена в жизнь лишь после Великой французской революции.
Некоторое время спустя идее Стевина последовали другие авторы, которые использовали современную нотацию с точкой (или запятой) для отделения десятичной части от целой. Среди них был шотландский барон Джон Непер (1550—1617), один из создателей логарифмов. Логарифмы появились в начале XVII века и были тесно связаны с открытием анализа бесконечно малых. Независимо от Непера логарифмы придумал и швейцарец Иост Бюрги (1552—1632). Изначально они использовались как вспомогательные функции в числовых расчетах, чтобы упростить умножение больших чисел в астрономических вычислениях. Нетрудно представить, сколько времени нужно было потратить на умножение множества подобных чисел и сколь велик был риск ошибиться. Джон Непер писал: «Ничто не причиняет столько проблем при занятиях математикой и не делает вычисления столь неприятными и затруднительными, как умножение, деление и извлечение квадратных и кубических корней из больших чисел. Операции эти помимо потери времени в большинстве случаев являются источником ошибок».