Ньютон осознавал, что его вычисление флюксий стоит на непрочном логическом фундаменте, поэтому особенно противился публикации любых трудов по этой теме, хотя копии этих рукописей всегда были доступны кругу его друзей. Этот страх, несомненно, оказал влияние и на подготовку его важнейшей работы — «Начал». Ньютон сделал выбор в пользу геометрического языка в древнегреческом стиле, который был менее понятным, но более строгим с логической точки зрения. Он исключил почти все упоминания об анализе бесконечно малых, который, возможно, использовал для получения части результатов, изложенных в «Началах».
Тем не менее в «Началах» содержатся отрывочные упоминания о математическом анализе. Таким образом, в этой книге впервые, пусть и косвенно, упоминается анализ бесконечно малых, созданный Ньютоном. Это произошло в 1687 году — спустя три года после того, как Лейбниц опубликовал в журнале Acta eruditorum свою первую статью о дифференциальном исчислении. В лемме II раздела II 2-й книги несколько туманно упоминаются правила, аналогичные современным правилам вычисления производной произведений и степеней. Ньютон применил математический трюк, чтобы избежать сокращения приращений. Этот трюк в середине XVIII века разоблачил Джордж Беркли, который возглавил «крестовый поход» против бесконечно малых. «Начала» вошли в историю математического анализа не только благодаря этой лемме. К математическому анализу можно отнести и другие утверждения, о которых мы расскажем чуть позже, когда будем говорить об ожесточенном споре между Ньютоном и Лейбницем за право называться создателем исчисления.
В «Началах» Ньютон приводит следующее доказательство правила нахождения производной произведения функций: «Любой прямоугольник, например АВ, увеличенный на непрерывную флюенту, если вычесть из сторон А и В половины их моментов а и b [под моментами понимаются приращения], будет равен:
или
Поскольку стороны А и В увеличиваются на другую половину моментов, прямоугольник превратится в:
или
Вычтем из этого прямоугольника предыдущий прямоугольник и получим излишек aВ + bА. Следовательно, приращение aВ + bА прямоугольника генерируется общими приращениями сторон а и b. Что и требовалось доказать». Если мы запишем приращение А как dА, а приращение В — как dB (Ньютон решительно воспротивился бы использованию подобных обозначений, так как их использовал его противник Лейбниц), то получим знакомое нам правило вычисления производной произведения: d(АВ) = AdB + BdA.
Мы уже упоминали, что Ньютон ссылался на открытую им в самый знаменательный период его жизни теорему о биноме, то есть о разложении (1 + x)m/n в степенной ряд. Однако она стала достоянием общественности лишь десять лет спустя, в 1676 году, причем в сокращенном виде. Ньютон упомянул о ней в первом из двух писем, отправленных Лейбницу через секретаря Лондонского королевского общества Генри Ольденбурга. В этом письме, озаглавленном Epistolae prior, Ньютон, отвечая на вопросы Лейбница, изложил свою теорему о биноме и другие результаты, касающиеся рядов.
Теорема о биноме легла в основу созданного им анализа бесконечно малых. По сути, именно с помощью бинома Ньютон разложил в ряд большинство элементарных функций: обратных тригонометрических (их производные можно найти с помощью бинома), а на их основе и тригонометрических функций. Аналогично он вычислил производные логарифмических и показательных функций.
Некоторые из полученных результатов уже были известны. Разложение в ряд для логарифмической функции впервые приводится в уже упоминавшейся книге Николаса Меркатора Logarithmotechnia (1668).
Высокомерный гений
Ньютон никогда не был склонен благодарить других за вклад в его открытия, однако требовал от остальных признания того, чем якобы они были обязаны ему. Ньютону нередко приписывают такую фразу: «Если я видел дальше других, то потому, что стоял на плечах гигантов», которую считают выражением благодарности и признанием заслуг других ученых. Эта фраза содержится в одном из писем Ньютона к Гуку, датируемом 1676 годом. Эти письма помогли хотя бы формально уладить разногласия в споре о природе света и цветов. Цитата Ньютона восходит к Иоанну Солсберийскому, который в своем трактате «Металогик» (1159) цитирует Бернара Шартрского: «Мы подобны карликам, стоящим на плечах гигантов: мы видим больше и смотрим дальше не потому, что наше зрение острее, и не потому, что мы выше, а потому, что можем забраться высоко благодаря росту гигантов».
Эту фразу можно считать выражением благодарности Ньютона Гуку, на плечи которого, фигурально выражаясь, забрался Ньютон, чтобы видеть дальше. Однако возможна и другая, более замысловатая трактовка, которую приводит Ф. Мэнюэль и в основе которой лежит тот факт, что Роберт Гук был низкорослым и горбатым: «5 февраля 1676 года Ньютон ответил избитой фразой, часто упоминавшейся в спорах о прогрессе, которая восходит как минимум к Иоанну Солсберийскому и часто приводится вне контекста как признание заслуг предшественников Ньютона: “Если я видел дальше других, то потому, что стоял на плечах гигантов”.
Если рассматривать эту фразу в контексте и учитывать психологическую атмосферу переписки 1676 года, то эта цитата выглядит сложной и даже неоднозначной. <…> Явно не упоминаемый образ карлика, который взобрался на плечи гиганта, выглядит не вполне прилично. Эта фраза со стороны Ньютона, обращенная к Гуку, выглядит издевательской аналогией. На первый взгляд может показаться, что Ньютон сравнивает Гука с гигантом, а себя считает карликом по сравнению с ним. Однако эта фраза относилась к низкорослому и горбатому человеку, поэтому Ньютон насмехается над ним, вольно или невольно». Вестфолл не разделяет взгляда Мэнюэля и считает, что Ньютон не допускал себе столь резких нападок на оппонентов: «Когда он нападал, то склонял голову и выдвигал обвинения прямо».
Еще одно доказательство нежелания Ньютона признавать, что он научился чему-то у других, прослеживается в его отношениях с Декартом. Именно у Декарта он научился аналитической геометрии, сыгравшей важнейшую роль в создании анализа бесконечно малых. Несмотря на это, Ньютон говорил, что испытывает глубокую неприязнь к французскому ученому. Когда Ньютон перечитывал «Геометрию» Декарта примерно в 1680 году, он заполнил поля пометками «осуждаю», «ошибка», «это не геометрия». Он даже написал черновик статьи под названием «Ошибки в «Геометрии» Декарта» (Errors in Descartes’ Geometry). Он называл аналитическую геометрию «языком мошенников от математики». В 1684 году Ньютон оставил про пуск в том месте рукописи, где должно было упоминаться имя Декарта, словно хотел забыть обо всем, чему научился у него: «Я размышлял над этими вопросами около девятнадцати лет, сравнивая между собой открытия и Худде».