В статье о биноме Ньютона, опубликованной в 1826 году, он пишет: «Курс анализа» Коши следует прочитать всякому аналитику, который хочет действовать в своих математических исследованиях со всей строгостью».
Однако усилия Коши по приданию математическому анализу большей строгости были лишь очередным промежуточным этапом развития этой дисциплины. Доказательством этому служит то, что исследователи работ ученого не пришли к единому выводу об истинности или ошибочности его теорем. Это кажущееся противоречие вызвано тем, что определения, представленные Коши в «Курсе анализа», были неточными и нечеткими и порой допускали несколько толкований. Неоднозначность этих определений лучше всего объясняет Айвор Граттангиннес: «Достаточно сказать, что использованные им технические термины заслуживают внимания, и в теореме Коши, как и во всем его анализе, они применяются крайне свободно».
Эйлер, Коши и эстетическая ценность математики
Следует рассказать и об эстетическом начале, поскольку, вопреки мнению многих, эстетика не только не чужда математике, но и составляет ее значимую часть.
Название этой главы — «Укрощенные бесконечно малые» — указывает, что Коши совершил решающий шаг, преодолев с помощью теории пределов логические проблемы, возникавшие в анализе бесконечно малых с XVII века. Как мы уже говорили выше, бесконечно большим и бесконечно малым величинам изначально не было дано логически строгого и четкого определения. В этом смысле, например, «Введение в анализ бесконечно малых» Эйлера является недостаточно логичным. По этой причине математики в итоге стали отдавать предпочтение пределам. Однако теперь нам известно, что рассуждения Эйлера с использованием бесконечно малых столь же строги, как и современные рассуждения, в которых используются пределы. Строго говоря, логический фундамент анализа XVIII века сформировал Абрахам Робинсон в 1966 году. На основе теории моделей он показал, что вещественные числа можно расширить множеством бесконечно малых, с которыми можно производить стандартные арифметические операции. Созданный им раздел математики получил название «нестандартный анализ».
Теперь, как и было обещано, мы расскажем об эстетической составляющей математики, так как рассуждения Эйлера во «Введении в анализ бесконечно малых» намного красивее, чем рассуждения, записанные с использованием пределов.
Математику часто называют сухой наукой, которая изучает идеальные абстрактные объекты, числа и треугольники, наукой, в которой нет места эмоциям. Это совершенно не так. Профессиональные математики выбрали свою профессию по разным причинам, но всех их объединяет одно: математика представляет для них источник сильных эмоций. Эрнест Уильям Хобсон (1856—1933) сказал о «Введении в анализ бесконечно малых»: «Будет непросто найти другой труд в истории математики, который оставляет у читателя такое впечатление о гениальности его автора, как этот». Любой, кто читал его, полностью согласится с Хобсоном. Это впечатление создается потому, что труд Эйлера вызывает бурные эмоции, оставляет след. Гениальность Эйлера нашла воплощение в красоте его работы, в ее эстетической ценности, выходящей далеко за рамки простой математики. Иными словами, эта книга не только обладает свойствами, о которых говорит Харолд Харди (1877—1947) в своей знаменитой «Апологии математика», рассуждая о красоте математических идей. В ней также присутствуют общие эстетические категории, о которых писали Иммануил Кант, Теодор Адорно и Джордж Сантаяна.
Один из самых удивительных результатов, содержащихся в труде Эйлера, как с математической, так и с эстетической точки зрения — это разложение функции синуса в бесконечный ряд:
а также то, как Эйлер использует этот ряд вместе с разложением в степенной ряд для нахождения суммы следующих бесконечных степенных рядов:
Живительно, что эти потрясающе красивые результаты, которые не смогли найти Лейбниц, братья Бернулли и, возможно, сам Ньютон, Эйлер смог вывести с помощью бесконечно малых всего на нескольких строках. Его рассуждения просты и гениальны, и можно четко проследить, какие идеи позволили ему совершить эти открытия. Если попытаться переписать эти рассуждения, используя теорию пределов, они теряют значительную долю простоты и красоты. Чтобы убедиться в этом, достаточно сравнить выкладки Эйлера во «Введении в анализ бесконечно малых» и последние страницы «Курса анализа» Коши (примечания VIII и IX). Коши пытается подтвердить правильность результатов Эйлера с помощью пределов, в результате чего элегантные и краткие рассуждения Эйлера, занимающие несколько строк, превращаются в несколько десятков страниц вычислений. Можно без преувеличения сказать, что Коши превратил деликатный эротизм Эйлера в порнографию.
Карл Вейерштрасс
В первой половине XIX века математики начали задумываться над тем, что постулаты евклидовой геометрии не являются априори истинными и что отрицание этих постулатов, в особенности постулата о параллельности прямых, может привести к созданию принципиально новой геометрии, столь же корректной, как и геометрия Евклида. Это было продемонстрировано в работах Николая Ивановича Лобачевского (1792—1856) и Яноша Бойяи (1802—1860). Этого же мнения придерживался великий Гаусс, однако он действовал излишне осмотрительно и поделился своими идеями лишь с немногими соратниками, из-за чего принятие неевклидовой геометрии в научных кругах происходило не так быстро, как могло бы. Процесс создания неевклидовой геометрии завершил Бернхард Риман (1826—1866). Риман в своем докладе «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», который он сделал 10 июня 1854 года с целью получить пост преподавателя в Гёттингенском университете, представил общую теорию геометрии, простиравшуюся намного дальше, чем частные случаи, описанные Лобачевским и Бойяи, которые были получены отрицанием постулата о параллельности прямых. Риман сделал основой своей геометрии утверждение, над которым другие математики размышляли в течение 50 лет: постулат о параллельности, равно как и любой другой постулат евклидовой геометрии, не является априори истинным в абсолютном пространстве, а, напротив, представляет собой эмпирический результат, полученный в процессе наблюдения той небольшой части пространства, что нас окружает. Спустя некоторое время после смерти Гаусса была опубликована его частная переписка, где он восхвалял новую геометрию предшественников Римана — Лобачевского и Бойяи. Если бы кто-то узнал о том, какой интерес и энтузиазм проявлял великий Гаусс по отношению к неевклидовой геометрии, это стало бы решающим толчком к ее широкому принятию.
Как следствие, это серьезно повлияло бы на вопросы, связанные с математической и логической строгостью. Корректность этих результатов, не проверенных эмпирическим путем, а доказанных строгими геометрическими рассуждениями, оставалась под сомнением. Таким образом, геометрия Евклида перестала быть неэмпирической дисциплиной, на основе которой с математической строгостью строились другие разделы математики. Ее место быстро заняла арифметика — раздел математики, изучающий числа и их свойства.
В этом смысле Карл Вейерштрасс (1815—1897) пересмотрел определение предела Коши и убрал из него геометрические элементы, в частности формулировки «бесконечно приближаются», «бесконечно уменьшаются» и «меньше любой заданной величины», заменив их арифметическими выражениями, в которых фигурировали величины эпсилон и дельта, используемые и сейчас: «Предел функции f(х) равен 1, когда x стремится к а, если для любого положительного ε > 0 существует другое положительное число δ > 0 такое, что для любой точки x, в которой определена данная функция, выполняется неравенство 0 < |f(x) — 1| < ε.