Некоторые из этих философов также были учеными и математиками. Лейбниц, например, был одним из создателей математического анализа. Ньютон, еще один из отцов-основателей анализа, также был богословом и верил во всемогущего Бога.
Аналитическая геометрия позволила сопоставить кривым уравнения. Например, окружности единичного радиуса, то есть кривой, все точки которой отстоят на одну единицу от фиксированной точки, называемой центром, соответствует уравнение x2 + y2 = 1. Также стало возможным сопоставить уравнениям кривые, в результате чего математики смогли изучить намного больше кривых. Теперь, чтобы задать новую кривую, вместо определения ее геометрических свойств требовалось лишь написать соответствующее уравнение. Кроме того, стало возможным применение алгебраических методов для решения геометрических задач, в частности задач на вычисление площадей, определение углов наклона касательных и так далее.
На смену частным геометрическим методам пришли более общие — алгебраические. Например, расчет угла наклона касательной для разных кривых радикально отличался, а методы алгебры, в частности нахождение производной, позволяли определять угол наклона касательной одним и тем же способом для всех кривых. Для этого достаточно было использовать алгоритм, созданный на основе правил вычисления производной.
Следует осознать всю важность открытия этих общих правил, скрытых за неимоверным числом частных результатов, которые были накоплены за первые три четверти XVII века, Именно общие правила аналитической геометрии позволили Ньютону и Лейбницу стать первооткрывателями математического анализа.
Вычисление квадратуры и кубатуры
Вернемся в начало XVII века и расскажем подробнее о методах анализа бесконечно малых, ставших основой математического анализа. Начнем с методов вычисления площадей и объемов, или, говоря языком той эпохи, расчета квадратур и кубатур.
Из всех методов, появившихся в первой трети этого столетия для решения подобных задач, наиболее важным был метод неделимых, предложенный учеником Галилея, преподавателем Болонского университета Бонавентурой Кавальери (1598— 1647). В одном ряду с ним стоят только методы вычисления объема, разработанные Кеплером, которые использовались австрийскими виноделами при изготовлении бочек.
Можно сказать, что в основе метода неделимых лежали принципы, предложенные еще Архимедом. Кавальери рассматривал площади фигур как множество линий, объемы — как множество плоских сечений. Множество линий, образующих плоскую фигуру, Кавальери называл omnes linae («все линии»). Стало возможным сравнение площадей любых двух плоских фигур путем сравнения соответствующих им omnes linae: согласно Кавальери, «фигуры относятся друг к другу, как все их линии, взятые по любой регуле», как показано на иллюстрации.
Метод Кавальери был применим не только для расчета площадей, но также для расчета объемов тел. Он попытался разработать целую теорию неделимых, которая позволила бы доказать полученные им результаты без использования понятия бесконечности (как строили свои доказательства древнегреческие математики). Однако в его рассуждениях очевидно используется актуальная бесконечность. Это стало определенным преимуществом, так как именно явное присутствие бесконечности привело к тому, что метод Кавальери оказался более гибким, пусть и менее строгим, чем метод исчерпывания, к которому прибегали греки. С помощью своего метода неделимых Кавальери вычислил площадь фигур, ограниченных параболой общего вида xn для n = 3, 4, 5, 6 и 9. Тем самым он намного опередил Архимеда, который провел расчеты площади лишь для параболы и спирали, которым соответствовала функция х2.
По сравнению с открытыми позднее способами вычисления площадей и объемов метод неделимых Кавальери обладает рядом недостатков: он недостаточно общий, слишком зависит от геометрических рассуждений, не говоря уже о логической небезупречности. Однако этот метод позволил найти новые квадратуры и кубатуры и превзойти результаты, полученные древнегреческими математиками.
Кроме того, недостатки этого метода вскоре удалось преодолеть. Так, Эванджелиста Торричелли (1608—1647), друг Кавальери, мастерски использовал этот метод и нашел различные строгие доказательства в стиле древнегреческих математиков, а Ферма, Паскаль и Валлис, а также Роберваль (1602—1675) и его метод бесконечно малых преобразовали геометрический метод Кавальери в алгебраический, благодаря чему он стал более общим и его стало возможно применять более широко.
Перед рассказом о том, как Валлис усовершенствовал метод Кавальери, остановимся на личности Грегуара де Сен-Венсана (1584—1667), иезуита, ученика Христофора Клавия и придворного учителя короля Испании Филиппа IV. По поручению папы Григория XIII Сен-Венсан разработал новый календарь и поощрял занятия математикой среди иезуитов. Он совершил значимые открытия во многих областях. Так, он расширил геометрический метод интегрирования, который позднее оказал влияние на работы Паскаля. Однако эта работа была опубликована с заметным опозданием — лишь в 1647 году, хотя была завершена в конце 1620-х годов. К тому времени Сен-Венсан стал уделять больше внимания алгебраическим методам, разработанным под влиянием аналитической геометрии. Он также был автором работы о геометрических рядах, которую Гюйгенс рекомендовал к изучению Лейбницу. Результаты, полученные в этой работе, Сен-Венсан использовал в обсуждении знаменитой апории Зенона об Ахиллесе и черепахе. Он указывал, что Зенон не учел, что отрезки, которые нужно пройти Ахиллесу, образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2 и, несмотря на то что эта прогрессия имеет бесконечное множество членов, ее сумма является конечной. Однако наиболее значимым вкладом Сен-Венсана, на наш взгляд, является обнаружение связи между логарифмами и площадью фигуры, ограниченной гиперболой. Выражаясь языком той эпохи, он доказал, что если длина интервалов возрастает геометрически, то площадь фигуры увеличивается арифметически, что показано на иллюстрации.
Теперь пришло время рассказать о Джоне Валлисе (1616—1703), одном из основателей Лондонского королевского общества и главе кафедры геометрии в Оксфорде с 1649 года. Возможно, этот пост был пожалован ему за то, что он расшифровал перехваченные сообщения роялистов во время Гражданской войны в Англии. В библиотеке Валлиса были двуязычные издания трудов греческих авторов (на латинском и греческом языках), в том числе Архимеда. Валлис также был автором грамматики английского языка (1653).
Он видоизменил метод неделимых Кавальери, присвоив им числовые значения. Таким образом, на смену геометрическим преобразованиям при вычислении площадей фигур пришли арифметические расчеты. Кроме того, Валлис ввел примитивную операцию, подобную переходу к пределу. Валлис достаточно свободно использовал бесконечные процессы (стоит напомнить, что именно он является автором знака бесконечности ∞, который мы используем и поныне), сделав тем самым еще один шаг от безупречной логической строгости к открытию новых, более мощных методов. Степень этих изменений можно увидеть, если обратить внимание на названия трудов Кавальери и Валлиса: труд Кавальери носил название Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota, книга Валлиса — Arithmetica infinitorum. Труд Валлиса отличается общим характером арифметических и алгебраических расчетов по сравнению с частными геометрическими доказательствами Кавальери; он также полностью использует широкие возможности бесконечности, в то время как Кавальери вынужден формулировать строгие и логичные доказательства в древнегреческом стиле, что, безусловно, накладывало свои ограничения. Показательным для того времени является следующий комментарий Валлиса относительно недостаточной логической строгости его метода: «Этот метод является в высшей степени еретическим, однако его можно подтвердить с помощью хорошо всем известного метода вписанных и описанных фигур, что излишне, поскольку частые повторения отвлекают читателя. Любой сведущий в этом предмете может выполнить такое доказательство». Это один из немногих случаев, когда в книге фигурирует термин «доказательство». Будучи под впечатлением от созданного им арифметического метода, с помощью неполной индукции и интуиции Валлис смог рассчитать площадь всех парабол вида xr, где r — любое рациональное число, не равное —1. Более того, ему удалось найти удивительную формулу для расчета числа π: