Арифметические методы Валлиса для вычисления площадей оказали огромное влияние на Ньютона, который подтвердил, что идеи о биноме и других основных понятиях математического анализа возникли у него после тщательного изучения книги Валлиса во время учебы в Кембридже. Сам Валлис предложил любопытную родословную анализа бесконечно малых.
1. Метод исчерпывания (Архимед).
2. Метод неделимых (Кавальери).
3. Арифметика бесконечного (Валлис).
4. Метод бесконечных рядов (Ньютон).
Центры тяжести
С расчетом площади и объема тесно связана задача об определении центра тяжести. В конце XVI века, после того как был обнаружен труд Архимеда «О равновесии плоских фигур», некоторые математики начали уделять внимание решению подобных задач. Среди них были два переводчика трудов Архимеда на латынь Франческо Мавролико (1494—1575) и Федерико Коммандино (1509—1575), а также Симон Стевин, который систематизировал и упростил методы Архимеда.
Несколько позднее появились работы швейцарского математика Пауля Гюльдена (1577—1643), который повторно открыл теорему об объемах тел вращения и центрах тяжести, известную как теорема Гюльдена, хотя она упоминается еще в «Собрании» Паппа Александрийского: «Объем тела вращения равен площади фигуры, умноженной на длину окружности, радиусом которой служит расстояние от оси вращения до центра тяжести фигуры». Гюльден вел ожесточенный спор с Кавальери (оба они были иезуитами) о методе неделимых: швейцарец обвинял Кавальери, с одной стороны, в плагиате кеплеровских идей, с другой — в отсутствии логической последовательности при рассмотрении площади как совокупности отрезков. Гюльдену удалось привести простое и элегантное геометрическое построение, где метод неделимых Кавальери вел к противоречию. Однако доказательство Гюльдена, которое он привел для своей теоремы, изобиловало метафизическими рассуждениями и было еще более спорным, чем методы Кавальери. Последний не замедлил указать на это в ответ на нападки Гюльдена.
Расчет угла наклона касательной
Методы анализа бесконечно малых, связанные с расчетами угла наклона касательной, наряду с задачами вычисления объемов и площадей относятся к числу задач, изучение которых привело к появлению математического анализа.
Само понятие касательной, «прямой, которая касается кривой в одной точке», вызвало множество трудностей, так как с помощью аналитической геометрии Ферма и Декарта можно было с легкостью вводить новые кривые, и, как следствие, предметом изучения математиков стал широкий спектр различных кривых. В этом смысле интересный пример представляют логарифмы, появившиеся как средство упрощения операций умножения, деления и извлечения корня из больших чисел, что использовалось в астрономических наблюдениях. Это позволило составить очень точные таблицы положений звезд и небесных тел. В итоге была введена логарифмическая функция и соответствующая ей кривая, для которой можно вычислить ограниченную ею площадь, угол наклона касательной и так далее. Рост числа изучаемых кривых привел к тому, что старое определение касательной как прямой, которая касается кривой в одной точке, стало не вполне удобным. Кроме того, потребовались новые методы нахождения касательных к новым кривым. Следует упомянуть метод, предложенный Ферма, также применимый в задачах определения максимумов и минимумов и для спрямления кривых. В знак признания этих и других работ о квадратурах некоторые французские математики XVII века (французом был и Ферма) считали его создателем математического анализа. Важность этих результатов Ферма несколько преувеличена, но сам Ньютон в письме, найденном в 1934 году, признавал, что в своих работах по математическому анализу он опирался на метод касательных Ферма: «Указание я получил из метода касательных Ферма. Применив его к абстрактным уравнениям прямым и обратным способом, я придал этому методу общий характер». Как бы то ни было, Ферма, «король среди любителей», как называл его шотландский математик и писатель Эрик Темпл Белл, имея в виду его непрофессиональные занятия математикой, занимает почетное место в истории науки. Это право он заслужил не только за предполагаемое доказательство своей знаменитой теоремы, для которого оказались «слишком узки» поля книги.
Другие математики, помимо Ферма, также разработали новые методы для определения углов наклона касательных, но практически во всех использовались бесконечно малые величины. Так, можно упомянуть Роберваля и его кинематический метод для нахождения касательной к спирали, который также использовали Галилей, Торричелли и Архимед. Заслуживает упоминания Декарт и его метод, представленный в труде «Геометрия», а также Барроу, Худде, де Слюза и их псевдодифференциальные методы. Все они обладали схожими недостатками: они были в достаточной степени применимы к алгебраическим кривым, но требовали изменений для каждой конкретной кривой, что было чрезвычайно сложно, а иногда и вовсе невозможно сделать для трансцендентных кривых. Все эти методы были унифицированы с помощью дифференциала, введенного Лейбницем, и флюксии, введенной Ньютоном. Эти понятия были близки к современной производной.
В середине этого же столетия возник важный класс задач, имевший большое историческое значение, в которых требовалось определить кривую по известным свойствам ее касательной. Первую задачу такого типа сформулировал юрист и ученик Декарта Флоримон де Бон (1601—1652). Возможно, самой известной из предложенных им задач является задача о нахождении кривой с постоянной подкасательной. Эту задачу не удалось решить самому Декарту, и вся слава досталась Лейбницу: как вы увидите чуть позже, он привел решение в первой в истории книге по анализу бесконечно малых и тем самым продемонстрировал всю мощь созданного им метода.
Для создания математического анализа обязательно (и неизбежно) требовалось признать, что задачи о касательной и о квадратуре являются обратными друг другу. Говоря современным языком, необходимо было показать, что дифференцирование и интегрирование — взаимно обратные операции. Именно в этом заключается основная теорема анализа, которая неспроста носит это название. Этот факт был известен Ферма, Торричелли и прежде всего Барроу, однако по причинам, о которых мы расскажем позднее, они не поняли всю его важность для решения задач, его значимость как связующего элемента двух классов задач — о касательных и квадратурах. Основная теорема анализа указала математикам путь, которым нужно следовать: выделять общее и наиболее значимое из множества частных случаев.
Исаак Барроу (1630—1677) был одним их тех гигантов, о которых говорил Ньютон в письме Роберту Гуку в феврале 1676 года: «Если я видел дальше других, то потому, что стоял на плечах гигантов» (из главы 3 вы узнаете, что эта фраза допускает еще одно, достаточно нелицеприятное толкование). Барроу был учителем Ньютона в Кембридже и первым лукасовским профессором математики. Он оставил этот пост в 1669 году (его заменил Ньютон), занялся богословием (он был англиканским пастором с 1660 года) и стал духовником короля Англии Карла II. Возможно, он подошел ближе всех к открытию математического анализа, за исключением Ньютона и Лейбница. Ему не хватало самой малости — знаний аналитической геометрии. Барроу создал метод нахождения касательных, очень похожий на вычисление производной. Кроме того, он добился важных результатов при решении задач по расчету площадей, а также доказал, что задачи нахождения касательной и задачи на вычисление площади являются обратными. Возможно, он руководствовался идеями Торричелли, с которым познакомился во время путешествия во Францию, Италию, Германию, Голландию и Константинополь, когда ему пришлось по религиозным мотивам покинуть Англию, где в то время правил Оливер Кромвель. Его доказательство приводится в лекции X его книги Lectiones geometricae. Оно является чисто геометрическим и выполняется для монотонных кривых. В нем также используется старое определение касательной как прямой, которая касается кривой в единственной точке.