Стихийное стремление ведущих держав к десятеричной системе счисления прекрасно, но, в конечном счете, намного прекраснее чудесная симметрия каждого языка. Подобные вещи поражают воображение! Чем объяснить бессознательное параллельное развитие таких сложных структур – и не в одном месте, а повсюду, где развивается человек? Каждый язык демонстрирует не идеальную симметрию, подобную симметрии геометрического чертежа, но симметрию во многом несовершенную, подобную дереву или красивому телу – живую симметрию.
Как подсчитывались результаты первобытной переписи? Допустим, что каждый считаемый предмет представлен прутиком и что принято десятеричное основание системы счисления.
Делаются пучки по десять прутиков в каждом; общее число прутиков в десять раз превышает количество пучков. Если пучков оказывалось слишком много, человеку, производившему подсчеты, возможно, и пришло бы на ум заменять каждый пучок более длинным прутиком, своего рода «суперпрутиком», и составлять из них новые «суперпучки» по десять пучков в каждом. Если бы подсчитывающий обладал математическим умом и пошел на такой шаг, он мог повторять операцию по мере необходимости. Признав десятки, он мог признать сотни, тысячи, десятки тысяч и так далее, создавая для новых понятий новые слова, а также новые символы. Не забывайте, что количество новых необходимых слов (или символов) стремительно сокращается. Скорее всего, прошло очень много времени, прежде чем для подсчетов понадобилось слово «миллион», и мы сейчас лишь начинаем с известной частотой применять слово «миллиард».
То, что мы называем основными арифметическими действиями (сложение, вычитание, умножение и деление), возникло естественно, если не эксплицитно, из самого процесса перечисления и распределения совокупностей. Идея вычитания также возникла в случаях, когда числа немного меньше круглых и легче подойти к ним сверху, чем снизу, сказать, например, что предметов на 2 меньше, чем 20, а не 18, на 1 меньше 100, чем 99, на 300 меньше 10 000, чем 9700. Доказательствами служат слова (сотворенные народом!) duo-deviginti («без двух двадцать») и undecentum («без одного сто», «один до ста») в латыни, а также triacoston apodeonta myria в греческом; они обозначают соответственно 18, 99, 9700.
Мы допускали, что первые подсчеты производились при помощи прутиков и других предметов, например камушков (calculi на латыни, отсюда «калькуляция», «калькулятор» и т. д.). Кроме того, подсчеты производились при помощи узлов на веревках или зарубок на палочках. Естественно, одни и те же периоды возникали вновь и вновь. Человек, который, пусть и бессознательно, мыслил десятеричным ритмом, делал зарубку подлиннее для десятка и еще длиннее – для сотни; цифры, которые приближались к более длинным зарубкам, легче можно было понять при помощи вычитания из этих зарубок.
Понятия ритма и шаблона появились по необходимости, когда пришлось вести более осязаемый счет в процессе создания орнаментов и украшений. Самые простые измерения, которые требовались при сооружении алтаря или строительстве дома, возможно, вызвали к жизни первые геометрические представления, ибо для того, чтобы красиво украсить различные предметы или тело, требовались не только отдельные измерения, но и полный их спектр плюс по возможности много симметричных и периодических комбинаций декоративных элементов. Лучшей учительницей стала мать-природа; бесконечные узоры, которые можно наблюдать, например, в деревьях, листьях, цветах, у птиц, змей и т. д., становились источником вдохновения для людей, развивших в себе любовь к прекрасному. Некоторые дошедшие до нас рисунки времен палеолита выполнены подлинными художниками. Узоры на керамике и тканях, которые можно видеть в антропологических музеях, доказывают живость воображения и изобретательность наших предков. Ремесленники были способны не только создавать чрезвычайно сложные узоры. Они виртуозно вносили в них изменения; им хватало тонкости осознать ценность небольших отклонений. При создании любой художественной композиции требуется решение, пусть и приблизительное, многочисленных геометрических задач.
Измерить расстояние и разделить его было достаточно легко, скажем, при помощи веревки, которую можно сложить вдвое, вчетверо и т. д. Сложнее было оценить относительное расстояние между звездами знакомого созвездия или изменение расстояния до движущегося небесного тела (планеты), которое приближалось к чему-то неподвижному. Скорее всего, первые «ученые» измеряли эти расстояния тоже с помощью веревок. В таком случае они вскоре наверняка заметили, что расстояние, которое требовалось измерить, уменьшалось, если поднести веревку ближе к глазам. Наконец, какому-то доисторическому Ньютону пришло в голову, что астрономические расстояния – не линейные, а угловые. Понятие угла стало геометрическим и астрономическим изобретением фундаментальной значимости.