Что касается геометрии, необходимость в ней была очевидна даже при сооружении таких простых памятников, как пирамиды, что возвращает нас в XXX в. Строители пирамид должны были точно вырезать известняковые блоки перед тем, как поднимать их на их место; самые крупные блоки укладывались в сложную конструкцию над усыпальницей фараона с целью уменьшить давление на потолок; 56 таких потолочных блоков имеются над усыпальницей в Великой пирамиде; в среднем они весят 54 тонны. По свидетельству археолога Ф. Питри, точность, которой достигли при строительстве пирамиды Хеопса (IV династия), почти невероятна.
Обтесывание камней, которые должны были плотно прилегать друг к другу, требовало некоторого знания стереометрии (далее мы увидим, что в этой области египтяне зашли поразительно далеко). Можно утверждать, что такие работы требовали и познаний в области описательной геометрии и стереотомии. Недостаточно было решать такие задачи в общем плане, поскольку резчику по камню необходимо было точно показать, как следует резать известняковые блоки. Однако такие познания оставались эмпирическими и, скорее всего, несформулированными.
Хотя можно с уверенностью утверждать, что архитекторы пирамид обладали серьезной математической подготовкой, без которой не могла быть выполнена теоретическая часть их задачи, у нас нет математических текстов эпохи Древнего царства, как и других царств вплоть до XII династии (2000–1788). Хотя два самых важных текста дошли до нас в позднейших редакциях, вероятнее всего, они появились именно в ту эпоху.
Арчибальд[5] перечисляет около 36 оригинальных документов, связанных с египетской математикой; они написаны на древнеегипетском, коптском и древнегреческом языках и датируются от около 3500 г. до н. э. до 1000 г. н. э. (разброс составляет 45 веков). Всего насчитывается 16 документов до 1000 г. до н. э., причем два из них затмевают все остальные.
Давайте рассмотрим их подробнее. До нас дошли два сборника математических задач. Их можно назвать трактатами – древнейшими из существующих учебников математики. Они существуют в виде свитков папируса, которые называются соответственно (по фамилиям первых владельцев) папирусом Голенищева (или Московским математическим папирусом, так как он находится в Москве) и папирусом Ринда (он хранится в Лондоне). На самом деле папирус Ринда состоит из двух свитков папируса (они находятся в Британском музее и хранятся под номерами 10057 и 10058), но фрагмент, связывающий два этих свитка, был обнаружен в Нью-Йоркском историческом обществе. Два свитка из Британского музея и нью-йоркский фрагмент составляли один свиток или один трактат. Папирус Голенищева древнее; он относится к XIII династии (начавшейся в 1788 г. до н. э.), однако в нем отражены способы решения задач, принятые в эпоху предыдущей династии. Папирус Ринда относится к эпохе правления гиксосов (примерно XVII в. до н. э.), но является копией более старого документа времен XII династии. Таким образом, два этих почтенных трактата, хотя и появились в разное время, представляют одну и ту же эпоху, эпоху XII династии (2000–1788), или, грубо говоря, XIX в. до н. э. Период XX–XVII вв. до н. э. считался временем научного расцвета в Древнем Египте, в то время как период, следовавший непосредственно за ним, примерно XVI–XII вв. до н. э., отмечен расцветом политическим, когда Египет стоял во главе всемирной империи. Любопытно, что интеллектуальный расцвет предшествовал политическому, а не совпадал с ним и не следовал за ним, как можно было бы ожидать.
Как ни странно, два этих выдающихся папируса имеют одну и ту же длину (544 см), но, в то время как папирус Ринда имеет полную ширину (33 см), папирус Голенищева – своего рода карманное издание, и его ширина составляет лишь четверть от папируса Ринда (8 см). Хотя последний, видимо, является более ранним, удобно вначале рассмотреть папирус Ринда.
Огромное строительство, предпринятое в эпоху пирамид, требовало деятельности клерков, которые сохраняли и увековечивали традиции в виде методов и рецептов, задач, расчетов и таблиц – а также того, что соответствовало нашим копиям чертежей. Можно предположить, что такие традиции, постепенно обогащавшиеся, сохранялись до конца расцвета Древнего Египта. Так, сооружение множества обелисков при XVIII и XIX династиях предполагает, что архитекторы передавали результаты многочисленных экспериментов, полученных методом проб и ошибок, своим ученикам; данные также передавались от двора одного фараона к другому. Вероятно, сохранению научных традиций очень способствовали жрецы, самые образованные люди для своего времени. Так, судя по вступительным словам на папирусе Ринда, его написал писец по имени Ахмес.