Читатель уже заметил, что у вавилонской математики имеются три сливающихся источника – арифметика, система мер и весов и астрономия. К последней мы скоро вернемся. Система мер и весов – дочь торговли; процесс купли-продажи подразумевает существование цен за единицу продукции, а также измерение и взвешивание. Многочисленные таблички представляют собой деловые документы, математическая структура которых подчас очень поучительна. На Луврской табличке (АО 6770, примерно 2000 г. до н. э.) записана задача: необходимо вычислить, сколько уйдет времени на то, чтобы некая сумма денег удвоилась при сложных процентах (20 %). Мы бы решили эту задачу в виде уравнения типа (1 + 0; 12)* = 2. Верный ответ: x = 3; 48 (3 и 4/5 года); к такому же результату пришел и шумерский математик! Если ему, таким образом, удалось решить степенное уравнение, не стоит удивляться, узнав, что он был способен решать и другие уравнения. Шумерские математики, безусловно, умели решать линейные уравнения, системы линейных уравнений со многими неизвестными, а также уравнения второй и третьей степени. Судя по всему, при решении квадратных уравнений они пользовались формулой, сравнимой с той, какой мы пользуемся сейчас. О.Э. Нойгебауэр предположил, что даже некоторые уравнения третьей степени сводились к нормальному виду и что таблица давала значения n2 + n3. Возможно, он забежал вперед. Судя по дошедшим до нас примерам, мы можем лишь заключить, что шумерские математики умели решать некоторые кубические уравнения. Но даже если они всего лишь привычно решали квадратные уравнения, а также системы из двух квадратов с двумя неизвестными, у нас уже есть достаточно оснований ими восхищаться. Несмотря на то что у древних шумеров не было ни уравнений, ни каких-либо символов (даже символа для неизвестной величины), благодаря своей алгебраической изобретательности они задействовали много знакомых нам процессов, например сокращение одинаковых величин, устранение одного неизвестного с помощью замены, введение дополнительного неизвестного. Более того, несмотря на полное отсутствие алгебраической символики, древние шумеры знали тождество, которое мы выражаем в виде (а + b)2 = а2 + 2аb + b2. Кроме того, они располагали алгебраическими средствами для нахождения последовательного приближения квадратного корня из числа. Такие достижения можно назвать почти сверхъестественными. Могу предложить лишь одно (весьма неполное) объяснение: абстрактные расчеты и таблицы сообщали шумерским математикам своего рода алгебраическую окраску и мотивацию.
Наконец, ясно, что шумеры не боялись иметь дело с отрицательными числами; кому-то это покажется мелочью, однако понятие отрицательности проникло в мир Запада только после Леонардо Пизанского (Фибоначчи), а на разработку идеи ушло еще несколько столетий.
Нет необходимости продолжать перечисление; алгебраические достижения шумеров 4000 лет назад более чем достаточны для того, чтобы поразить воображение нынешних молодых математиков. И хотя средний филолог, скорее всего, считает, что до греков подлинной математики не было, он едва ли в состоянии понять шумерскую математику! Нам вполне ясно, что древние шумеры обладали не меньшим природным талантом к алгебре, чем греки – к геометрии.
Вавилоняне, жившие в 2200–2000 гг. до н. э., умели измерять площади прямоугольников, а также правильных и равнобедренных треугольников; они, возможно, знали теорему Пифагора и знали, что угол в полукруге – прямой угол; они умели измерять объем прямоугольного параллелепипеда, правильного круглого цилиндра, усеченного конуса и пирамиды. Их решение последней задачи (вычисление объема пирамиды) немного отличалось от решения, предложенного египтянами. Его можно представить в виде формулы
Приведенное выше решение, которое предложили египтяне, проще, однако два решения эквивалентны. Интересно отметить, что два тысячелетия спустя, когда с той же задачей столкнулся греческий математик Герои Александрийский, его решение больше напоминало вавилонское.
В области измерения углов вавилонские математики решительно уступали своим египетским современникам. Лучший способ сравнить два метода – подсчитать число л в соответствии с каждым из них. В то время как египетский способ был эквивалентен принятию л = 3,16 (почти 3,14), вавилоняне получили результат л = 3. Примеры, приведенные в Ветхом Завете (1 Цар., 7: 23; 2 Пар., 4: 2) соответствуют тому же приближению (л = 3).