Для ТЭ характерно стремление разработать такие теоретические методы, которые обеспечивают возможность произвести качественный и количественный анализ результатов решения конкретной задачи. С этой точки зрения использование матричных методов без применения современных ЭВМ вплоть до 70-х годов носило больше методический, чем прикладной характер. Именно стремление довести решение задачи до аналитических выражений для выяснения общих свойств решаемой задачи помимо получения численных результатов в 50-х годах породило методы: матрично-топологичёские (Л.Д. Кудрявцев, Э.А. Меерович, Э.В. Зелях, В.А. Тафт, В.П. Сигорский и др.), алгебраические (К.Т. Ванг, С. Беллерт, Г. Возняцки, Я.К. Трохименко, П.Ф. Хасанов) и сигнальных графов (С. Мэзон, Г. Циммерман П.А. Ионкин, и др.). Однако для цепей с большим количеством узлов и контуров расчеты, произведенные по этим методам для вычисления определителя матрицы и ее алгебраических дополнений, оказались громоздкими. На практике эти методы оказываются малопродуктивными для анализа электрических цепей, поскольку выражение для определителя цепи даже с шестью узлами при взаимном соединении всех узлов будет содержать 64 = 1296 слагаемых. Не намного более продуктивным оказался и метод сигнальных графов по тем же причинам. Однако эти методы сыграли важную методическую роль и позволили по-иному формировать математические модели для многочисленных прикладных задач с уравнениями низкого порядка.
Важным новым направлением развития теории электрических цепей стала диагностика их параметров и состояния. Задачи, связанные с диагностикой, приобрели определяющее значение при управлении процессами в электрических цепях и системах. Особенно острыми они стали при организации диспетчерской службы ЕЭС страны для принятия оперативных решений по управлению эффективным распределением потоков электромагнитной энергии в ней.
Для решения этой задачи требуется знание текущего состояния системы т.е. ее структуры и параметров элементов системы, для чего и необходимо провести диагностику системы: определить путем измерений и расчетов параметры, необходимые для управления состоянием системы (или электрической цепи), и организовать проверку достоверности результатов диагностики. В решение этой проблемы заметный вклад внесли Н.В. Киншт, П.А. Бутырин, А.З. Гамм и др.
В теории линейных цепей особое положение занимают цепи с переменными во времени параметрами. Математический аппарат, пригодный для представления решения уравнений процессов в аналитической форме, существенно менее развит, чем таковой для линейных цепей, и в этом основная причина сложности создания пригодной для практики теории расчета процессов в таких цепях. Общие решения и анализ их свойств содержится во многих работах (в частности, Л. Заде и Ч. Дезоер «Теория линейных систем», К.С. Демирчян и П.А. Бутырин «Моделирование и машинный расчет электрических цепей», В.А. Тафт «Электрические цепи с переменными параметрами»). Исследованию специфических свойств таких цепей, в частности случаю периодичности изменения параметров цепей, посвящены многие работы. В таких цепях при помощи нахождения соответствующих преобразований иногда оказывается возможным свести их к цепям с постоянными параметрами. Этот случай характерен для описания процессов в электрических машинах (А.А. Горев).
4.6. ТЕОРИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛЦ
Важным разделом в ЛЦ являются методы анализа переходных процессов. На заре зарождения теории электрических цепей стало очевидным, что переход от одного установившегося режима к другому происходит не сразу. Наличие в электрических цепях конденсаторов и индуктивных элементов, заряды и потокосцепления которых не могут изменяться скачкообразно, приводит к тому, что становление нового режима происходит по мере изменения энергии ЭМП в этих элементах. В классической постановке задачи анализ переходных процессов в цепях сводится к нахождению полного решения системы интегродифферециальных уравнений и с этой точки зрения является традиционной. По мере развития теории дифференциальных уравнений этот подход обогащался различными методами нахождения частных решений исходной системы уравнений. Важным следует считать предложенное в 1853 г. Дюамелем выражение для исследования динамики линейных систем, позволяющее применительно к линейным электрическим цепям, для которых применим принцип наложения, по известной переходной или импульсной характеристике электрической цепи отыскать ее реакцию на воздействие произвольной формы, названное в его честь интегралом Дюамеля, или интегралом свертки. Интеграл Дюамеля по праву считается одной из основных формул в теории цепей. Обобщение интеграла Дюамеля для систем уравнений Коши в случае переменных во времени параметров электрической цепи мало пригодно для нахождения аналитических решений. С самого начала применения классического общего подхода для решения задач теории цепей выявились и ограничения, связанные с отысканием корней полиномов для нахождения решения однородного дифференциального уравнения, частного решения неоднородного уравнения, и проблема определения неизвестных постоянных интегрирования. По этим причинам, а также и для упрощения получения исходной системы уравнений О. Хевисайдом в 1892 г. был предложен метод операторов и интегрального преобразования, позволяющий алгебраизировать и находить решение системы дифференциальных уравнений. Впоследствии Д. Карсоном, Б. Ван-дер-Полем, Т. Бромвичем и др. было показано, что преобразование, лежащее в основе этого метода, является одной из множества модификаций преобразования П.Лапласа (1749–1827 гг.), предложенного им в 1779 г. Однако именно О. Хевисайду принадлежит заслуга внедрения этого метода решения системы дифференциальных уравнений в электротехнику. Этот метод с середины 20-х годов нашел широкое распространение в теории переходных процессов. В теории линейных цепей особое место занимает проблема нахождения частного решения исходной неоднородной системы дифференциальных уравнений, описывающего установившийся процесс.