Но теперь Пифагор более всего известен благодаря теореме, которая сейчас носит его имя. Как мы уже видели, в древности эта теорема была известна практически повсеместно. Считается, что Пифагор узнал о ней у представителей цивилизации, которую мы в этой связи не упоминали, — у египтян. Греческая литература постоянно ссылается на Египет как на источник знаний в области геометрии, но, к сожалению, у нас пока нет египетских документов, иллюстрирующих теорему Пифагора. Аристотель приписывает пифагорейцам первое доказательство того факта, что √2— иррациональное число. Если взять прямоугольный треугольник с основанием и высотой 1, его гипотенуза будет равна √2. На языке греческой математики пифагорейцы стремились выразить отношение гипотенузы к единице длины, то есть √2:1, как мы сейчас написали бы, то есть отношение целых чисел. В отличие от, например, пифагоровского треугольника со сторонами 3, 4, 5, где любая пара сторон составляет соотношение целых чисел, в треугольнике с катетами по единице этого достигнуть оказалось невозможно. Имеется в виду, что гипотенуза и любой катет несоизмеримы, то есть при наличии линейки с любыми одинаковыми делениями эти две стороны треугольника не могут быть измерены точно — если в гипотенузе откладывается целое число делений, то невозможно отложить целое число делений в катете, и наоборот. Историк Диоген Лаэртский рассказывает, что это открытие было сделано Гиппасом из Метапонта (574–522 до н. э.), последователем Пифагора, и что другие члены пифагорейской школы вывезли его в море и выбросили за борт, поскольку он разрушил их веру в то, что все может быть выражено целыми числами и их отношениями.
Эту историю теперь считают сомнительной, но отношения между соизмеримыми и несоизмеримыми длинами, и соответственно между рациональными и иррациональными числами, были важным вопросом математики. Действительно, определение иррациональных чисел в терминах рациональных чисел не было достигнуто в течение более двух тысяч лет (см. Главу 19).
Самым поразительным в греческом доказательстве теоремы Пифагора был метод, который описан в конце Первой книги «Начал» Евклида. В этом самом общем геометрическом доказательстве используется последовательность построений, преобразующих два меньших квадрата в два прямоугольника, которые стыкуются, образуя больший квадрат. Оно представлено без каких-либо ссылок на числовые значения, а характерную диаграмму «мельница», сопровождающую доказательство, позднее можно было найти в трудах по математике многих евразийских культур. Прокл оставил свой комментарий: «Хотя я восхищаюсь теми, кто первым понял истинность этой теоремы, я еще больше восхищаюсь автором „Начал“». Тем не менее этой теореме было дано имя Пифагора, ведь привлекательность пифагорейского идеала математической вселенной непреходяща.
4. Начала
Греки вошли в историю как захватчики с севера, обосновавшиеся на землях, что лежали между Ионийским и Эгейским морями. Они выказали жадность к знаниям и стремление учиться у своих более древних соседей, а также — что еще важнее — желание увеличивать мудрость, полученную от египтян и жителей Месопотамии. Греческий, или эллинский, мир объединяли скорее культурные, чем расовые узы. Его историю можно разделить на два обширных периода; переход от одного к другому ознаменовался началом царствования Александра Великого. Для наших целей назовем эти периоды афинским и александрийским.