Десятая книга содержит подробный анализ различных иррациональных длин, и именно здесь мы находим идею несоизмеримости между основными величинами, сводящуюся к понятию иррациональности между длинами (и площадями). Если некий отрезок определен как рациональный, тогда любой другой отрезок, несоизмеримый с ним, считается иррациональным. Приводятся длинные доказательства для всех типов иррациональности, от простых квадратных корней до кратных корней вроде √ (√ a + √ b). Дискуссия о способах выражения иррациональных чисел в цифровой форме проливает свет на некоторые интересные проблемы. Числовая нотация (представление) иррационального числа, основанная на алгоритме Евклида, действительно существовала, но, хотя она была полезной для представления одного иррационального числа, простой процедуры для отображения в этой нотации сумм или произведений иррациональных чисел так и не нашлось. Любопытна Лемма 1 (лемма — это вспомогательное предложение, употребляемое при доказательстве одной или нескольких теорем), изложенная в этой книге: она демонстрирует два квадрата чисел, сумма которых тоже представляет собой квадрат числа, — в сущности, это теорема Пифагора в числовом виде, однако никакой ссылки на доказательство теоремы, приводимое в конце первой книги, здесь нет. Именно в десятой книге содержится дерзкое предположение, что подобные численно-геометрические процедуры — лишь первый шаг к более сложным задачам, в частности к задачам вычисления площадей, проблеме квадратуры. Также следует отметить, что все иррациональные числа, о которых говорится в книге, могут быть построены с помощью линейки и циркуля, — а вот, например, кубических корней там нет. В последних разделах «Начал» громоздкая классификация иррациональных чисел становится более понятной — там они вновь появляются в связи с описанием тел правильной формы.
В заключительных трех книгах «Начал» рассматриваются вопросы стереометрии. Там используется метод исчерпывания Евдокса как способ найти площади и объемы путем последовательных приближений. Архимед приписал Евдоксу первое доказательство, что объем конуса равен одной трети объема цилиндра с теми же основанием и высотой. Считается, что большая часть двенадцатой книги основана на работах Евдокса. В тринадцатой книге приводится доказательство, что существует всего пять правильных Платоновых тел, построенных из треугольников, квадратов и пятиугольников[5]. Все они вписаны в сферу, и есть подробные указания по поводу относительных расстояний от граней каждого тела до центра сферы. Здесь используются иррациональные числа, описанные в десятой книге. Этим труд Евклида завершается.
«Начала» были самым влиятельным учебником всех времен. Они многократно переписывались, к ним писались новые комментарии, дополняющие более древние. Книги переводились на другие языки и редактировались таким образом, чтобы соответствовать интересам и культуре разных цивилизаций. Восстановить оригинальную работу Евклида стало практически невозможно — к девятому веку нашей эры остались только фрагменты исходного текста. Однако наиболее важен тот факт, что работа Евклида не только выжила, но и отодвинула в тень все другие учебники, существовавшие до нее.
В течение некоторого времени Александрия оставалась научным центром. Там сначала учился, а затем преподавал Аполлоний Пергский (262–190 до н. э.), которого часто называют Великим Геометром. Самая известная его работа — специализированное исследование в области геометрии под названием «Конические сечения» (в 8 книгах). Конические сечения — это фигуры, получаемые в результате рассечения конуса под различными углами: круг, эллипс, парабола и гипербола. В Александрии учились Архимед, Птолемей и Диофант Александрийский (предположительно III в. н. э.). В IV веке нашей эры блеск Александрии начал угасать. В то время, когда главой платоновской школы стала Гипатия (ок. 370–415 н. э.) — дочь Теона Александрийского, первая женщина-математик, если верить сведениям, дошедшим до наших дней, — набирающее силу христианское движение становилось все менее терпимым к тому, что считало языческой наукой и философией. Смерть Гипатии от рук членов местной христианской секты считается началом конца Александрии — столицы наук. Центр научного мира переместился в восточном направлении — в Багдад.
5
Напомним: пять правильных Платоновых тел — это тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.