Второй рисунок, сделанный более тщательно, представляет собой три вписанных прямоугольника, размеры сторон которых находятся в зависимости от размеров первой фигуры: длинная сторона большого (внешнего) прямоугольника равна стороне большого квадрата, а его короткая, боковая сторона равна стороне среднего квадрата (или, что одно и то же, половине диагонали большого квадрата). Два внутренних прямоугольника второй фигуры дают следующие закономерности: длинная сторона каждого из них равна короткой стороне следующего по величине (бо́льшего) прямоугольника, середины сторон также соединены линиями. Геометрически построить такую фигуру, как три вписанных прямоугольника с отношением длинных сторон к коротким как a:(a√2)/2 можно только при помощи вспомогательного чертежа в виде трех вписанных квадратов.
По счастью, этот вспомогательный чертеж был сделан на этом же самом куске черепицы.
«Вавилоны» тмутараканской церкви середины X в. мы должны рассматривать как два сопряженных между собой чертежа: три вписанных квадрата были вспомогательным чертежом (выполненным более небрежно), необходимым для построения второго чертежа, состоящего из прямоугольников.
Каким же целям должен был служить этот сложный чертеж, ради чего создавалась такая геометрическая композиция?
Ответить на эти вопросы можно лишь, ознакомившись с математическими свойствами этого чертежа. Оказывается, что стороны прямоугольников и расстояния между узловыми точками чертежа (углами и пересечениями линий) таят в себе множество различных соотношений, которые известны в архитектуре и прикладной геометрии средневековья.
Обозначим все точки нашей фигуры буквами русского алфавита, — перечислим соотношения линий. В основе фигуры лежат шесть пар прямых линий (сторон прямоугольников), разделенных пополам, и две пары пересекающих их линий, каждая из которых разделяется на две неравные части. Если же учитывать не только изображенные на чертеже линии, но и те, которые могут быть проведены от точки к точке, то количество линий возрастет до 42 (рис. 19).
Рис. 19. Прямоугольный «вавилон». Слева — условные обозначения, справа метрические соотношения отдельных отрезков.
Все линии «вавилона» можно подразделить на три группы.
1. Часть линий является долями длинных сторон ВД — АЖ внешнего прямоугольника:
ВГ = ГД = (ВД)/2 = АЗ = ЗЖ = (АЖ)/2 = ЛН = ИП = УХ = СЧ;
БТ = ЦЕ = (ВД)/4 = (ВГ)/2 = и т. д.
2. Другие линии представляют собой фракции диагонали квадрата, сторона которого равна ВД или АЖ:
АВ = ДЖ = ЛН = ИП = (ВД√2)/2 = (АЖ√2)/2;
СУ = ХЧ = АВ/2 = ДЖ/2 = (ВД√2)/4 = (АЖ√2)/2;
ГФ = ШЗ = АВ/2 = ДЖ/2 СУ/2 = ХЧ/2 = (УФ√2)/2 = (БТ√2)/2 = (УХ√2)/4 = (ВД√2)/8
3. Третья группа самых коротких линий тоже представляет сочетание сторон и диагоналей квадрата; эти линии получены как разность между длинными и короткими сторонами прямоугольников.
БК = ОЕ; ГМ = РЗ = КТ = ЦО = (БК√2)/2 = (ОЕ√2)/2;
ФМ = ШР = БК/2 = ОЕ/2 = (ГМ√2)/2
Если для простоты обозначить длинную сторону через А, то при помощи этой величины мы сможем выразить все линии «вавилона». Одни из них будут представлять последовательное деление на 2: А; А/2; А/4, другие могут быть представлены иррационально:
(А√2)/2; (А√2)/4; (А√2)/8, третьи являются разностью:
А/2— (А√2)/4; (А√2)/4 — А/4; А/4 — (А√2)/8 (см. рис. 13 справа).
Линии «вавилона» образуют несколько пропорциональных рядов. Вот, например, один из них: МФ:МГ = МГ:БК = ГФ:БТ = УС:УХ = АВ:ВД.
Среди линий «вавилона» нетрудно подыскать свыше десятка отношений, очень близких к «золотому сечению»: м:М = М:(м+М). Приближенность решений определяется только при математическом анализе, но практически она неуловима. Наиболее точным является отношение: ВК:АЛ = АЛ:(ВК+ЛЛ) = АЛ:ВД. Здесь суммой двух отрезков является длинная сторона прямоугольника А.
Погрешность равна 0,003 этой стороны; при практических построениях она была мало заметна.
При помощи изучаемого нами графика можно быстро и с достаточной для практических целей точностью решить все важнейшие задачи средневековых геометров. Упомянутый выше Абуль-Вафа (940–998 гг.) посвятил специальную книгу задачам на построение равновеликих фигур. Со всей строгостью настоящего ученого обрушился он на «методы, применяемые рабочими, не основанные на каких-либо началах», и дал взамен их математически безупречные, но необычайно сложные и громоздкие решения этих задач, руководствуясь «началами» Эвклида. Однако не все задачи, интересовавшие тогдашних практиков, могли быть решены строго математически — такова, например, была древняя задача о нахождении геометрическим путем квадрата, равновеликого кругу, задача «квадратуры круга»[137].
137
Древние египтяне очень хитро решили эту задачу, вычислив ее арифметически и подобрав соответствующие меры длины. Египетский локоть в 46 см — это сторона квадрата, а царский локоть в 52 см — диаметр круга 46/52 = 1/2×√π = 0,886.