Современный Абуль-Вафе тмутараканский график из трех вписанных прямоугольников позволяет с очень большой степенью точности (хотя и не всегда теоретически верно) почти моментально решать все подобные задачи, включая и «квадратуру круга».
Рассмотрим несколько примеров, взяв за основу квадрат, сторона которого равна длинной стороне внешнего прямоугольника «вавилона» (А).
1. Удвоение квадрата, (рис. 20):
Рис. 20. Приближенное решение квадратуры круга и других задач на равновеликость с помощью «вавилона».
Сторона удвоенного квадрата равна удвоенной боковой стороне «вавилона» (т. е. 2АВ или 2ДЖ).
2. Построение двух равных квадратов, сумма площадей которых равна площади основного квадрата:
Сторона каждого малого квадрата равна АВ или ДЖ.
3. Построение трех квадратов на тех же условиях:
Удвоенная линия БЛ (или три другие, ей соответствующие — БИ, ЕН, ЕП) является стороной искомого квадрата.
4. Построение равностороннего треугольника, равновеликого квадрату: сторона треугольника равна удвоенной линии АЧ. Высота его будет равна удвоенной линии ТН.
5. Построение правильного шестиугольника, равновеликого квадрату:
Стороной шестиугольника будет больший отрезок стороны квадрата, разделенной в «золотом сечении», т. е. линия АЛ.
6. Построение квадрата, равновеликого кругу («квадратура круга»).
Примем диаметр окружности равным большой стороне «вавилона». Сторона искомого квадрата будет равна сумме боковой стороны «вавилона» и линии ГФ (поперечной линии, соединяющей длинные стороны всех трех прямоугольников). Погрешность здесь будет очень невелика и практически почти неощутима — 0,0023 диаметра; ошибки в задачах 3 и 5 тоже очень малы и не превышают 0,005-0,003. Наименее точно решение задачи 4 (ошибка равна 0,08). Задачи 1, 2 решаются точно.
Как видим, для средневековых практиков, осужденных Абуль-Вафой, все подобные задачи решались поразительно просто — располагая «вавилоном» в определенную меру (например, с большой стороной в «локоть»), мастера и архитекторы должны были только знать, который из 42 размеров этого графика нужно взять в качестве стороны искомой фигуры.
Зная свойства «вавилона», можно было быстро, не производя ни расчетов, ни геометрических построений, сразу же разделить локоть в отношении «золотого сечения», найти фигуры, равновеликие квадратному локтю, дать несколько пропорциональных рядов, дать графическое изображение ряда иррациональных величин:
а√2, а√3, а√4, а√4, а√6…
Неудивительно, что этот математически универсальный замечательный график мог стать еще в глубокой вавилонской древности символом зодческой мудрости, «хытрости храмоздательской».
Перечисленными выше примерами далеко не исчерпываются расчетные возможности прямоугольного «вавилона».
Обращение к древнерусским мерам длины открывает нам еще одну область применения нашего графика.
Возьмем за основу ту меру, которую сами древнерусские люди считали основной и называли «мерной саженью». Размер ее колеблется по разным данным между 176,0-176,8 см[138].
Примем среднюю величину в 176,4 см и построим квадрат со стороной в мерную сажень, а на основе квадрата — прямоугольный «вавилон», длинная сторона которого будет, как известно, тоже равна мерной сажени в 176,4 см.
Все виды древнерусских саженей займут положение основных геометрических линий этой фигуры, (рис. 21):
Рис. 21. Общая геометрическая система древнерусских саженей (сторона квадрата равна 1 мерной сажени).
Великая сажень (249,46 см) — диагональ квадрата.
«Сажень без чети» (197,21 см) — диагональ половины квадрата.
Мерная сажень (176,4 см) — сторона квадрата.
Косая сажень (216,04 см) — диагональ «вавилона».
Прямая сажень (152,76 см) — диагональ короткой половины «вавилона».