∂𝑥
+𝑣
∂𝑊
∂𝑦
+𝑤
∂𝑊
∂𝑧
⎫
⎪
⎭
=-
∂𝑝
∂𝑧
.
(3)
Вводя полярные координаты 𝑟 и θ (𝑥=𝑟 cos θ, 𝑦=𝑟 sin θ), а также радиальную α и тангенциальную β составляющие скорости с помощью соотношений
𝑢=αcos θ - βsin θ,
𝑣=αsin θ + βcos θ,
а также имея в виду, что 𝑊 зависит только от радиуса, уравнение (3) можно представить в виде
ρ𝑊
∂α
∂𝑧
=-
∂𝑝
∂𝑟
,
ρ𝑊
∂β
∂𝑧
=-
1
𝑟
∂𝑝
∂θ
,
ρ
⎧
⎪
⎩
α
∂𝑊
∂𝑟
+𝑊
∂ω
∂𝑧
⎫
⎪
⎭
=-
∂𝑝
∂𝑧
,
(4)
а уравнение (2) — в виде
∂α
∂𝑟
+
α
𝑟
+
1
𝑟
∂β
∂θ
+
∂ω
∂𝑧
=0.
(5)
Полагая теперь, что α, β, ω и 𝑝 имеют вид ƒ(𝑟)𝑒𝑖𝑛θ+𝑖𝑘𝑧, из уравнений (4) и (5) находим
∂²𝑝
∂𝑟²
+
∂𝑝
∂𝑟
⎧
⎪
⎩
1
𝑟
-
2
𝑊
∂𝑊
∂𝑟
⎫
⎪
⎭
-𝑝
⎧
⎪
⎩
𝑛²
𝑟²
+𝑘²
⎫
⎪
⎭
=0.
(6)
В случае 𝑊=const решение уравнения, удовлетворяющее условию конечности при 𝑟=0, имеет вид
𝑝
0
=
𝐴𝐽
𝑛
(𝑖𝑘𝑟)
𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑘𝑧
,
(7)
где 𝐽𝑛 функция Бесселя 𝑛-го порядка. Полагая
𝑝=
𝑝
0
exp
⎧
⎪
⎩
𝑟
∫
0
ψ(𝑟)𝑑𝑟
⎫
⎪
⎭
,
(8)
из уравнения (6) получаем
𝑑ψ
𝑑𝑟
+ψ²+ψ
⎧
⎪
⎩
1
𝑟
+
2
∂𝑝
0
𝑝
0
∂𝑟
-
2
∂𝑊
𝑊
∂𝑟
⎫
⎪
⎭
-
2
∂𝑝
0
∂𝑊
𝑝
0
𝑊
∂𝑟
∂𝑟
=0.
(9)
Положим теперь, что 𝑊=𝑐+σ, где 𝑐 — средняя скорость струи, а σ — величина, малая по сравнению с этой скоростью. В этом случае ψ мало, и, пренебрегая членами порядка (σ/𝑐)², мы находим из (9)
𝑑ψ
𝑑𝑟
+ψ
⎧
⎪
⎩
1
𝑟
+
2
∂𝑝
0
𝑝
0
∂𝑟
⎫
⎪
⎭
-
2
∂𝑝
0
𝑑σ
𝑐𝑝
0
∂𝑟
𝑑𝑟
=0.
(10)
Численное значение |𝑖𝑘𝑟|, соответствующее условиям эксперимента, будет очень малым (длина волны велика по сравнению с диаметром струи). Поэтому, чтобы не усложнять формулы, мы будем при вычислении ψ использовать только первый член разложения 𝐽𝑛(𝑖𝑘𝑟). При этом (1/𝑝0)∂𝑝0/∂𝑟 и решение уравнения (9) принимает вид
ψ=
2𝑛
𝑐
𝑟
-(2𝑛+1)
⎧
⎪
⎩
𝑟
∫
0
𝑑σ
𝑑𝑟
𝑟
2𝑛
𝑑𝑟
+𝐶
⎫
⎪
⎭
.
Учитывая конечность ψ при 𝑟=0, находим, что 𝐶=0. Интегрируя по частям, получаем
ψ=
2𝑛
𝑐𝑟
σ-
4𝑛2
𝑐𝑟2𝑛+1
𝑟
∫
0
σ𝑟
2𝑛-1
𝑑𝑟
.
(11)
Предположим, что уравнение поверхности имеет вид
𝑟-𝑎=ζ=
𝐵
𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑘𝑧
.
Общие граничные условия дают при этом
𝐷
𝐷𝑡
(𝑟-𝑎-ζ)
=
⎧
⎪
⎩
α
∂
∂𝑟
+β
∂
∂θ
+𝑤
∂
∂𝑧
⎫
⎪
⎭
(𝑟-𝑎-ζ)
=0,
откуда мы получаем, пренебрегая величинами того же порядка, что и в случае уравнений (3)
α-𝑊
∂ζ
∂𝑧
=0,
ζ=
𝑖
𝑊𝑘
α.
Подобным же образом, обозначая через 𝑅1 и 𝑅2 главные радиусы кривизны, мы имеем далее
1
𝑅1
+
1
𝑅2
=
1
𝑎
-
ζ
𝑎²
-
1
𝑎²
∂²ζ
∂θ²
-
∂²ζ
∂𝑧²
=
1
𝑎
-α
𝑖(𝑛²-1+𝑘²𝑎²)
𝑎²𝑊𝑘
.
Обозначая коэффициент поверхностного натяжения через 𝑇, мы находим следующее динамическое условие на поверхности:
𝑇
⎧
⎪
⎩
1
𝑅1
+
1
𝑅2
⎫
⎪
⎭
-𝑝
=const.
Отсюда находим (в тех же приближениях, что и раньше), используя формулу (4):
⎡
⎢
⎣
𝑇(𝑛²-1-𝑘²𝑎²)
ρ𝑎²𝑘²𝑊²
∂𝑝
∂𝑟
-𝑝
⎤
⎥
⎦𝑟=𝑎
=0.
(12)
Из (12) с помощью (7) и (8) получаем
𝑘²
=
𝑇
𝑖𝑎𝑘
𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑎𝑘)
ρ𝑎³ 𝐽
𝑛 (𝑖𝑎𝑘)
(𝑛²-1-𝑘²𝑎²)
⎡
⎢
⎣
1
𝑊²
⎧
⎪
⎩
1+ψ
𝑝0
∂𝑝0/∂𝑟
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦𝑟=𝑎
.
(13)
Наконец, из формулы (13) с помощью (11) и в том же приближении, которое было использовано при вычислении ψ, имеем
𝑘²
=
𝑇
𝑖𝑎𝑘
𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑎𝑘)
ρ𝑐²𝑎³ 𝐽
𝑛 (𝑖𝑎𝑘)
(𝑛²-1-𝑘²𝑎²)
⎡
⎢
⎣
1-
4𝑛
𝑐𝑎2𝑛
𝑎
∫
0
σ𝑟
2𝑛-1
𝑑𝑟
⎤
⎥
⎦
.
(14)
Это соотношение, за исключением последнего члена, совпадает с решением, полученным Рэлеем. Мы видим, таким образом, что влияние различия в величинах скоростей концентрических слоёв струи состоит в том, что в формуле для длины волны λ=2π/𝑘 выражение для средней скорости струи 𝑐 заменяется «эффективной средней скоростью»
𝑐'=𝑐+
2𝑛
𝑎2𝑛
𝑎
∫
0
σ𝑟
2𝑛-1
𝑑𝑟
(15)
Из выражения (15) мы видим, что чем больше и, тем ближе будет эффективная средняя скорость совпадать со скоростью движения поверхности. Это объясняется тем, что чем больше значение 𝑛 (т. е. число волн, укладывающееся на длине окружности сечения струи), тем быстрее будет уменьшаться скорость колебательного движения частиц жидкости при переходе от поверхности к оси струи.