1 Rayleigh. Phil. Mag., 1892, XXXIV, 145.
Общие уравнения движения несжимаемой вязкой жидкости, свободной от действия внешних сил, имеют вид
μ∇²𝑢-ρ
𝐷𝑢
𝐷𝑡
=
∂𝑝
∂𝑥
,
μ∇²𝑣-ρ
𝐷𝑣
𝐷𝑡
=
∂𝑝
∂𝑦
,
μ∇²𝑤-ρ
𝐷𝑤
𝐷𝑡
=
∂𝑝
∂𝑧
,
(1)
∂𝑢
∂𝑥
+
∂𝑣
∂𝑦
+
∂𝑤
∂𝑧
=
0,
(2)
где 𝑢, 𝑣, 𝑤 — компоненты скорости, 𝑝 — давление, ρ — плотность, μ — коэффициент вязкости и
∇²
=
∂²
∂𝑥²
+
∂²
∂𝑦²
+
∂²
∂𝑧²
,
𝐷
𝐷𝑡
=
∂
∂𝑡
+𝑢
∂
∂𝑥
+𝑣
∂
∂𝑦
+𝑤
∂
∂𝑧
.
В рассматриваемой задаче движение является стационарным. Положим 𝑤=𝑐+ω. Считая, что 𝑢, 𝑣 и 𝑤 имеют вид ƒ(𝑥,𝑦)•𝑒𝑖𝑏𝑧 и достаточно малы, чтобы при расчётах можно было пренебречь их произведениями (и величинами того же порядка), из уравнений (1) получаем
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
𝑢
=
1
μ
∂𝑝
∂𝑥
,
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
𝑣
=
1
μ
∂𝑝
∂𝑦
,
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
ω
=
1
μ
∂𝑝
∂𝑧
.
(3)
Из уравнений (3) и (2) следует
∇²𝑝=0.
(4)
Полагая
𝑢
=
𝑖
𝑐𝑏ρ
∂𝑝
∂𝑥
+
𝑢
1
,
𝑣
=
𝑖
𝑐𝑏ρ
∂𝑝
∂𝑦
+
𝑣
1
,
ω
=
𝑖
𝑐𝑏ρ
∂𝑝
∂𝑧
+
ω
1
,
(5)
получаем
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
𝑢
1
=0
,
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
𝑣
1
=0
,
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
ω
1
=0
,
(6)
и
∂𝑢1
∂𝑥
+
∂𝑣1
∂𝑦
+
∂ω1
∂𝑧
=0
.
(7)
Введём полярные координаты 𝑟 и θ (𝑥=𝑟 cos θ, 𝑦=𝑟 sin θ), а также радиальную и тангенциальную составляющие скорости α и β. С помощью соотношений
𝑡
=
α cos θ - β sin θ,
𝑢
=
α sin θ + β cos θ,
𝑡
1
=
α
1
cos θ - β
1
sin θ,
𝑢
1
=
α
1
sin θ + β
1
cos θ,
∂
∂𝑥
=
cos θ
∂
∂𝑟
-
sin θ
1
𝑟
∂
∂θ
,
∂
∂𝑦
=
sin θ
∂
∂𝑟
+
cos θ
1
𝑟
∂
∂θ
,
(8)
из равенств (5) получаем
α
=
𝑖
𝑐𝑏ρ
∂𝑝
∂𝑟
+α
1
,
β
=
𝑖
𝑐𝑏ρ
1
𝑟
∂𝑝
∂θ
+β
1
;
(9)
из уравнений (6) и (7), имея в виду, что ∇²=∂²/∂𝑟² + (1/𝑟)∂/∂𝑟 + (1/𝑟²)∂²/∂θ² + ∂²/∂𝑧² находим
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
α
1
-
α1
𝑟²
-
2
𝑟²
∂β1
∂θ
=0,
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
β
1
-
β1
𝑟²
-
2
𝑟²
∂α1
∂θ
=0
(10)
и
∂α1
∂𝑟
+
α1
𝑟
+
1
𝑟
∂β1
∂θ
+
∂ω1
∂𝑧
=0.
(11)
Полагая, что 𝑝, α, β, ω и соответственно α1, β1, ω1 имеют вид ƒ(𝑟)𝑒𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧, из уравнения (4) получаем
∇²𝑝
=
∂²𝑝
∂𝑟²
+
1
𝑟
∂𝑝
∂𝑟
-
𝑝
⎧
⎪
⎩
𝑛²
𝑟²
+𝑏²
⎫
⎪
⎭
=0.
Решение этого уравнения, удовлетворяющее условию ограниченности при 𝑟=0, имеет вид
𝑝=
𝐴𝐽
𝑛
(𝑖𝑏𝑟)𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
,
(12)
где 𝐽𝑛 функция Бесселя 𝑛-го порядка. Из уравнений (6) имеем
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
ω
1
=
∂²ω2
∂𝑟²
+
1
𝑟
∂ω1
∂𝑟
-
ω
1
⎧
⎪
⎩
𝑚²
𝑟²
+
𝑑²
⎫
⎪
⎭
=0,
𝑑²
=
𝑎²
+
𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
,
(13)
откуда
ω
1
=
𝐵𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
.
(14)
Исключая β1 из уравнений (10) и (11), имеем
𝑟
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
α
1
+2
∂α1
∂𝑟
+
α1
𝑟
=-2
∂ω1
∂𝑧
,
откуда
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
(𝑟α
1
)
=-2
𝑖𝑏
𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
(15)
Поскольку, однако,
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
⎧
⎪
⎩
𝑟
∂
∂𝑟
⎫
⎪
⎭
=
⎧
⎪
⎩
𝑟
∂
∂𝑟
⎫
⎪
⎭
⎧
⎪