⎧
⎪
⎩
𝑥
2
⎫2𝑛
⎪
⎭
+…
⎤
⎥
⎦
(γ= 0,5772 ... — постоянная Эйлера). Когда 𝑥 велико, 𝑓(𝑥) представляется асимптотическим рядом
𝑓(𝑥)
∼
⎧
⎪
⎩
π
2
⎫½
⎪
⎭
𝑒
-𝑥
𝑥
½
⎡
⎢
⎣
1+
1⋅3
8𝑥
-
1⋅3⋅5
2!
⎧
⎪
⎩
1
8𝑥
⎫²
⎪
⎭
+
+
1⋅3⋅1⋅3⋅5
3!
⎧
⎪
⎩
1
8𝑥
⎫³
⎪
⎭
-…+
(-1)
𝑛+1
1⋅3⋅5…(2𝑛-3)⋅1⋅3…(2𝑛-1)
𝑛!(8𝑥)𝑛
⎤
⎥
⎦
.
Для составляющей силы, действующей на электрон в направлении, параллельном направлению движения частицы, имеем (см. рис. 1 на стр. 68)
𝐹
2
=
𝑒𝐸
𝐴𝐵
𝐴𝐶³
=
𝑒𝐸𝑉𝑡
(𝑉²𝑡²+𝑝²)3/2
=
𝑚ψ(𝑡)
.
Для энергии, передаваемой электрону при столкновении, получаем таким же образом, как и раньше (учитывая, что 𝑚ψ(𝑡) — нечётная функция 𝑡),
𝑄
2
=
𝑚
2
⎡
⎢
⎣
∞
∫
-∞
sin 𝑛𝑧
ψ(𝑧)
𝑑𝑧
⎤2
⎥
⎦
.
Подставляя выражение для ψ(𝑧), находим
𝑄
2
=
𝑒²
2𝑚
𝐸²𝑉²
⎡
⎢
⎣
∞
∫
-∞
𝑧 sin 𝑛𝑧 𝑑𝑧
(𝑉²𝑧²+𝑝²)3/2
⎤
⎥
⎦
,
или
𝑄
2
=
2𝑒²𝐸²
𝑚𝑉²𝑝²
𝑔²
⎧
⎪
⎩
𝑛𝑝
𝑉
⎫
⎪
⎭
,
где
𝑔(𝑥)
=-
1
2
∞
∫
-∞
𝑧 sin 𝑥𝑧
(𝑧²+1)3/2
𝑑𝑧
=
𝑥
2
∞
∫
-∞
cos 𝑥𝑧
(𝑧²+1)1/2
=
𝑓'(𝑥)
;
здесь 𝑓(𝑥) имеет тот же смысл, что и раньше.
Энергия движения электрона в направлении, перпендикулярном направлению движения частицы, всегда меньше для связанного электрона, чем для свободного. Это соотношение, однако, не справедливо для движения электрона в направлении движения частицы.
Для полной энергии, переданной электрону при столкновении, получаем
𝑄
=
𝑄
1
+𝑄
2
=
2𝑒²𝐸²
𝑚𝑉²𝑝²
⋅𝑃
⎧
⎪
⎩
𝑛𝑝
𝑉
⎫
⎪
⎭
,
(2)
где 𝑃(𝑥)=𝑓²(𝑥)+𝑔²(𝑥) равно 1 при 𝑥=0 и при больших 𝑥 очень быстро убывает с ростом 𝑥. Заметим, что при 𝑥=0 𝑃'(𝑥)=0.
Рассмотрим теперь прохождение частицы через вещество. Пусть 𝑁 —число атомов в единице объёма, и каждый атом содержит 𝑟 электронов, частота собственных колебаний которых равна 𝑛. Пусть, далее, 𝑎 константа, много бо́льшая λ, но малая по сравнению с 𝑉/𝑛 (см. стр. 67). Тогда для полной энергии 𝑑𝑇, переданной электронам частицей, прошедшей путь 𝑑𝑥, имеем
𝑑𝑇
=
𝑁𝑟
⎡
⎢
⎣
𝑎
∫
0
𝑄
0
2π𝑝
𝑑𝑝
+
∞
∫
𝑎
𝑄
2π𝑝
𝑑𝑝
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑥
.
C помощью формул (1) и (2) получаем отсюда
𝑑𝑇
=
4π𝑒²𝐸²𝑁𝑟
𝑚𝑉²
⎡
⎢
⎣
𝑎
∫
0
𝑝 𝑑𝑝
𝑝²+λ²
+
∞
∫
𝑎
1
𝑝
𝑃
⎧
⎪
⎩
𝑛𝑝
𝑉
⎫
⎪
⎭
𝑑𝑝
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑥
.
Пренебрегая величинами порядка (λ/𝑎)² (см. выше), имеем
𝑑𝑇
=
4π𝑒²𝐸²𝑁𝑟
𝑚𝑉²
⎡
⎢
⎣
ln
𝑎
λ
+
∞
∫
𝑎𝑛/𝑉
1
𝑧
𝑃(𝑧)
𝑑𝑧
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑥
=
=
4π𝑒²𝐸²𝑁𝑟
𝑚𝑉²
⎡
⎢
⎣
ln
𝑎
λ
-
ln
𝑎𝑛
𝑉
⋅
𝑃
⎧
⎪
⎩
𝑎𝑛
𝑉
⎫
⎪
⎭
-
∞
∫
𝑎𝑛/𝑉
ln 𝑧
⋅
𝑃'(𝑧)
𝑑𝑧
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑥
.
В соответствии с нашим предположением 𝑎𝑛/𝑉 очень мало. Поэтому мы можем положить 𝑃(𝑎𝑛/𝑉)=1 и в дальнейшем принять в качестве пределов интегрирования 0 и ∞ (так как 𝑃'(0)=0).
Полагая
∞
∫
0
ln 𝑧
⋅
𝑃'(𝑧)
𝑑𝑧
=
-ln 𝑘
,
мы получаем, таким образом,
𝑑𝑇
=
4π𝑒²𝐸²𝑁𝑟
𝑚𝑉²
ln
⎡
⎢
⎣
𝑉³𝑘𝑀𝑚
𝑛𝑒𝐸(𝑀+𝑚)
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑥
.
Я подсчитал 𝑘 с помощью приведённых выше формул для 𝑓(𝑥) и получил, что
𝑘=1,123
Если мы предположим, что 𝑟 электронов в атомах имеют различные собственные частоты, которые мы обозначим соответственно через 𝑛1, 𝑛2, …, 𝑛𝑟, то
𝑑𝑇
=
4π𝑒²𝐸²𝑁
𝑚𝑉²
𝑑𝑥
𝑟
∑
𝑠=1
ln
⎡
⎢
⎣
𝑉³𝑘𝑀𝑚
𝑛𝑠𝑒𝐸(𝑀+𝑚)
⎤
⎥
⎦
.
(3)
Так как 𝑑𝑇 означает уменьшение кинетической энергии частицы, т. е. величины ½𝑀𝑉², имеем
𝑑𝑉
𝑑𝑥
=-
4π𝑒²𝐸²𝑁
𝑚𝑀𝑉³
𝑟
∑
𝑠=1
ln
⎡
⎢
⎣
𝑉³𝑘𝑀𝑚
𝑛𝑠𝑒𝐸(𝑀+𝑚)
⎤
⎥
⎦
.
(4)
При выводе формулы (4) мы учитывали только взаимодействие частицы с электронами и не учитывали её взаимодействия с центральным зарядом атома. Однако, как показал Дарвин 1, влияние этого последнего взаимодействия пренебрежимо мало по сравнению с первым; этот вывод справедлив и в представленной здесь теории.
1 С. G. Darwin. Phil. Mag., 1912, 23, 907.
Формула (4) представляет уменьшение скорости движущейся заряженной частицы на единицу пути как функцию скорости частицы, числа электронов в атоме и их собственных частот. Если 𝑉 очень велико, логарифмы в формуле (4) можно считать постоянными. При этом получим соотношение, связывающее скорость частицы 𝑉 с расстоянием, которое она прошла в веществе. Обозначая скорость при 𝑥=0 через 𝑉0, имеем
𝑉
4
0
-
𝑉
4
𝑥
=
𝑎𝑥
,
где