⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
+2
∂²
∂𝑟²
+
2
𝑟
∂
∂𝑟
+
2
𝑟²
∂²
∂θ²
=
=
⎧
⎪
⎩
𝑟
∂
∂𝑟
+2
⎫
⎪
⎭
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
-2
⎧
⎪
⎩
∂²
∂𝑧²
-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
,
это даёт
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
⎡
⎢
⎣
𝑟
∂
∂𝑟
𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
⎤
⎥
⎦
=
=2
⎧
⎪
⎩
𝑏²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
=
2𝑏²
𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
,
(16)
и из соотношений (15) и (16) следует, что
α
1
=
⎡
⎢
⎣
𝑏
𝑑
𝐵𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
+
𝐶
1
𝑟
𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
⎤
⎥
⎦
𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
,
(17)
а из (11) получаем
-
1
∂β
1
𝑟
∂θ
=
∂α1
∂𝑟
+
α1
𝑟
+
∂ω1
∂𝑧
=
=
⎧
⎨
⎩
𝐵
⎡
⎢
⎣
𝑖𝑏
𝐽
''
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
+
𝑏
1
𝑑
𝑟
𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
+
𝑖𝑏
𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
⎤
⎥
⎦
+
𝐶
𝑖𝑏
1
𝑟
𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
⎫
⎬
⎭
𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
.
(18)
С помощью соотношения
𝐽
''
𝑛
(𝑥)
+
1
𝑥
𝐽
'
𝑛
(𝑥)
+
⎧
⎪
⎩
1-
𝑛²
𝑥²
⎫
⎪
⎭
𝐽
𝑛
(𝑥)
=0
(19)
из уравнения (18) имеем
β
1
=
⎡
⎢
⎣
𝐵
𝑛𝑏
1
𝑑
𝑟
𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
-𝐶
𝑑
𝑛
𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
⎤
⎥
⎦
𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
.
(20)
Подставляя в равенства (9) и (5) выражения для 𝑝, α1, β1 и ω1, задаваемые формулами (12), (14), (17) и (20), получаем
α=
⎡
⎢
⎣
-𝐴
1
𝑐ρ
𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑏𝑟)
+𝐵
𝑏
𝑑
𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
+𝐶
1
𝑟
𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
⎤
⎥
⎦
𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
,
β=
⎡
⎢
⎣
-𝐴
𝑛
1
𝑏𝑐ρ
𝑟
𝐽
𝑛
(𝑖𝑏𝑟)
+𝐵
𝑏𝑛
1
𝑑²
𝑟
𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
+𝐶
𝑑
𝑛
𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
⎤
⎥
⎦
𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
,
𝑤=𝑐+ω=𝑐+
⎡
⎢
⎣
-𝐴
1
𝑒ρ
𝐽
𝑛
(𝑖𝑏𝑟)
+𝐵
𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
⎤
⎥
⎦
𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
.
(21)
Предположим, что уравнение поверхности имеет вид
𝑟-𝑎=ζ=𝐷
𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
.
Из общего граничного условия на поверхности имеем
𝐷
𝐷𝑡
(𝑟-𝑎-ζ)
=
⎧
⎪
⎩
α
∂
∂𝑟
+
β
∂
𝑟
∂θ
+𝑤
∂
∂𝑧
⎫
⎪
⎭
(𝑟-𝑎-ζ)
=0,
откуда, пренебрегая величинами того же порядка малости, что и раньше, находим
𝑎-𝑐
∂ζ
∂𝑧
=0,
ζ=-
𝑖
𝑐𝑏
α.
(22)
Обозначая главные радиусы кривизны через 𝑅1 и 𝑅2, получаем, далее, аналогичным образом
1
𝑅1
+
1
𝑅2
=
1
𝑎
-
ζ
𝑎²
-
1
∂²ζ
𝑎²
∂θ²
-
∂²ζ
∂𝑧
=
1
𝑎
-α
𝑖(𝑛²-1+𝑏²𝑎²)
𝑎²𝑐𝑏
.
(23)
Пусть 𝑃𝑟, 𝑃θ и 𝑃𝑧 — соответственно радиальная, тангенциальная и аксиальная составляющие действующей в вязкой жидкости силы сцепления, отнесённой к единице площади элемента поверхности, расположенного перпендикулярно радиус-вектору. Принимая рассматриваемый радиус-вектор за ось 𝑋 и используя общепринятые обозначения, имеем
𝑃
𝑟
=
𝑝
𝑥,𝑥
=
-𝑝
+2μ
∂𝑢
∂𝑥
,
𝑃
θ
=
𝑝
𝑥,𝑦
=
μ
⎧
⎪
⎩
∂𝑣
∂𝑥
+
∂𝑢
∂𝑦
⎫
⎪
⎭
,
𝑃
𝑧
=
𝑝
𝑥,𝑧
=
μ
⎧
⎪
⎩
∂𝑤
∂𝑥
+
∂𝑢
∂𝑧
⎫
⎪
⎭
.
Используя соотношения (8), дифференцируя и полагая θ=0, получаем
𝑃
𝑟
=
-𝑝
+2μ
∂α
∂𝑟
,
𝑃
θ
=
μ
⎧
⎪
⎩
∂β
∂𝑟
+
1
∂α
𝑟
∂θ
-
β
𝑟
⎫
⎪
⎭
,
𝑃
𝑧
=
μ
⎧
⎪
⎩
∂α
∂𝑧
+
∂𝑤
∂𝑟
⎫
⎪
⎭
.
(24)
Введём коэффициент поверхностного натяжения 𝑇; предполагая отсутствие «поверхностной вязкости», динамические условия на поверхности с прежней степенью точности можно записать в виде
𝑇
⎧
⎪
⎩
1
𝑅1
+
1
𝑅2
⎫
⎪
⎭
+
𝑃
𝑟
=const,
𝑃
θ
=0,
𝑃
𝑧
=0;
(25)
отсюда, принимая во внимание равенства (23) и (24), получаем
⎡
⎢
⎣
-𝑇α
𝑖(𝑚²-1+𝑎²𝑏²)
𝑎²𝑐𝑏
-𝑝+2μ
∂α
∂𝑟