𝐹=𝑁-𝑠
𝑛
,
где
𝑠
𝑛
=
1
4
𝑠=𝑛-1
∑
𝑠=1
cosec
𝑠π
𝑛
.
Значения 𝑠𝑛 от 𝑛 = 1 до 𝑛 = 16 даны в таблице на стр. 112.
Мы показали (см. часть I, стр. 105), что для систем, состоящих из ядер и электронов, вращающихся вокруг них по круговым орбитам со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света, суммарная кинетическая энергия электронов равна общему количеству энергии, испущенной при образовании системы из первоначального расположения, в котором частицы покоились и находились бесконечно далеко друг от друга. Если обозначить эту энергию через 𝑊, имеем
𝑊
=
∑
𝑚
2
𝑣²
=
2π²𝑒²𝑚
ℎ²
∑
𝐹²
.
(3)
Если в соотношениях (1), (2) и (3) подставить значения 𝑒 = 4,7⋅10-10, 𝑒/𝑚 = 5,31⋅10-17 и ℎ = 6,5⋅10-27, получим
𝑎 = 0,55⋅10
-8
𝐹
-1
,
𝑣 = 2,1⋅10
8
𝐹
ω = 6,2⋅10
15
𝐹
2
,
𝑊 = 2,0⋅10
-11
∑
𝐹
2
.
(4)
В первой части работы мы пренебрегли магнитными силами, возникающими при движении электронов; это означает, что предполагалась малая скорость частиц по сравнению со скоростью света. Приведённые выше расчёты показывают, что это осуществляется, если 𝐹 мало по сравнению с 150. Как мы увидим, последнее условие выполняется для всех электронов в атомах элементов с небольшим атомным весом и для большей части электронов в атомах других элементов.
Если скорость электронов не мала по сравнению со скоростью света, то постоянство момента импульса уже не предопределяет постоянства отношения между энергией и частотой обращения. В этом случае на основе соображений части I без введения новых допущений нельзя определить расположение электронов в системе. Но дальнейшее рассмотрение показывает, что постоянство момента импульса всё-таки остаётся главным условием. Если применять это условие к скоростям, не малым по сравнению со скоростью света, то мы получим то же выражение для 𝑣 что и в (1), с той лишь разницей, что величина 𝑚 в выражениях для 𝑎 и ω заменяется на 𝑚/√1-(𝑣²/𝑐²), а в выражении для 𝑊 — на
𝑚⋅2
𝑐²
𝑣²
⎧
⎪
⎩
1-
⎡
⎢
⎣
1-
𝑣²
𝑐²
⎤½
⎥
⎦
⎫
⎪
⎭
.
Как уже установлено в части I, основанный на обычной механике расчёт показывает, что кольцо электронов, вращающееся вокруг ядра, вообще неустойчиво при смещениях электронов в плоскости кольца. Чтобы избежать этой трудности, мы предположили, что обычные принципы механики столь же мало применимы при рассмотрении упомянутой проблемы, как и при рассмотрении механизма связывания электронов. Мы также предположили, что устойчивость относительно таких смещений обеспечена введением гипотезы универсального постоянства момента импульса электронов.
Как легко показать, последнее предположение включено в § 1 в условие устойчивости. Рассмотрим кольцо электронов, вращающееся вокруг ядра, и допустим, что система находится в динамическом равновесии, причём 𝑎0 — радиус кольца, 𝑣0 — скорость электронов, 𝑇0 — общая кинетическая энергия и 𝑃0 — потенциальная энергия. Как показана в части I (стр. 102), 𝑃0 = -2𝑇0. Рассмотрим сначала такую конфигурацию системы, при которой под влиянием внешних сил электроны вращаются вокруг ядра с одинаковым моментом импульса в кольце радиуса 𝑎 = α𝑎0. В этом случае 𝑃 = (1/α)𝑃0 и вследствие одинаковости моментов импульса 𝑣 = (1/α)𝑣0 и 𝑇 = (1/α)²𝑇0. Если использовать соотношение 𝑃0 = -2𝑇0, то получим
𝑃+𝑇
=
1
α
𝑃
0
+
1
α²
𝑇
0
=
𝑃
0
+
𝑇
0
+
𝑇
0
⎧
⎪
⎩
1-
1
α
⎫2
⎪
⎭
.
Мы видим, что общая энергия при новой конфигурации больше, чем при первоначальной. Согласно условию устойчивости § 1, система устойчива при рассмотренном смещении. В этой связи нужно отметить сделанное в части I предположение, что частота испускаемого или поглощаемого системой излучения не может определяться частотами колебаний электронов в плоскости орбит, как это вытекает из расчётов с помощью обычной механики. Напротив, мы предположили, что частота излучения определяется условием ℎν = 𝐸, где ν — частота, ℎ — постоянная Планка, 𝐸 — разница в энергиях двух различных стационарных состояний системы.
Для исследования устойчивости электронного кольца, вращающегося вокруг ядра, относительно смещений электронов, перпендикулярных к плоскости кольца, рассмотрим расположение системы, при котором электроны смещены соответственно на δ𝑧1, δ𝑧2, …, δ𝑧𝑛, и примем, что электроны под действием внешних сил вращаются по круговым орбитам вокруг оси системы в плоскостях, параллельных первоначальным плоскостям, с теми же радиусами и моментами импульса, как и раньше. Кинетическая энергия при смещении меняется; если пренебречь степенями δ𝑧1, δ𝑧2, …, δ𝑧𝑛 выше второй, то прирост потенциальной энергии имеет вид
1
2
𝑒²
𝑎³
𝑁
∑
(δ𝑧)²
-
1
32
𝑒²
𝑎³
∑∑
⎪
⎪
⎪
cosec³
π(𝑟-𝑠)
𝑛
⎪
⎪
⎪
(δ𝑧
𝑟
-δ𝑧
𝑠
)²
,
где 𝑎 — радиус кольца, 𝑁𝑒 — заряд ядра, 𝑛 — число электронов. Согласно условию устойчивости § 1, система будет устойчивой при рассматриваемых смещениях, если приведённое выше выражение положительно для произвольных значений δ𝑧1, δ𝑧2, …, δ𝑧𝑛. Простым расчётом можно показать, что последнее требование эквивалентно условию
𝑁 > 𝑝
𝑛,0
-𝑝
𝑛,𝑚
,
(5)
где 𝑚 — целое число (меньшее 𝑛), для которого
𝑝
𝑛,𝑘
=
1
8
𝑠=𝑛-1
∑
𝑠=1
cos 2𝑘
𝑠π
𝑛
cosec³
𝑠π
𝑛
имеем наименьшее значение. Это условие идентично условию равновесия, выведенного на основе рассуждений обычной механики для смещений электронов перпендикулярно плоскости кольца 1.
1 Ср.: J. W. Nicholson. Month. Not. Roy. Astr. Soc., 1912, 72, 52.
Для наглядной иллюстрации представим себе, что рассматриваемые смещения вызваны внешними силами, действующими на электрон параллельно оси кольца. Если смещения происходят бесконечно медленно, то движение электронов в каждое мгновение происходит нормально первоначальной плоскости кольца; момент импульса каждого электрона относительно центра своей круговой орбиты, очевидно, равен первоначальному значению. Прирост потенциальной энергии системы будет равняться работе внешних сил, вызвавших смещения. С помощью таких рассуждений мы приходим к допущению, что в противоположность случаю колебаний в плоскости кольца обычная механика может применяться при расчёте колебаний электронов, перпендикулярных плоскости кольца. Это предположение подтверждается согласием с наблюдениями, выполненными Никольсоном в связи с его теорией о происхождении линий в спектрах солнечной короны и звёздных туманностей (см. часть I, стр. 89 и 104). Кроме того, позже будет показано, что это предположение согласуется и с опытами по дисперсии.