Значения 𝑠𝑛 и 𝑝𝑛,0 - 𝑝𝑛,𝑚 от 𝑛 = 1 до 𝑛 = 16 даны в табл. 1.
Таблица 1
𝑛
𝑠𝑛
𝑝𝑛,0 - 𝑝𝑛,𝑚
𝑛
𝑠𝑛
𝑝𝑛,0 - 𝑝𝑛,𝑚
1
0
0
9
3,328
13,14
2
0,25
0,25
10
3,863
18,13
3
0,577
0,58
11
4,416
23,60
4
0,957
1,41
12
4,984
30,80
5
1,377
2,43
13
5,565
38,57
6
1,828
4,25
14
6,159
48,38
7
2,305
6,35
15
6,764
58,83
8
2,805
9,56
16
7,379
71,65
Из таблицы видно, что число электронов, которые могут вращаться вокруг ядра с зарядом 𝑁𝑒 в одном кольце, очень медленно растет с увеличением 𝑁; для 𝑁 = 20 наибольшее значение 𝑛 = 10; для 𝑁 = 40, 𝑛 = 13; для 𝑁 = 60, 𝑛 = 15. Мы видим далее, что рой из 𝑛 электронов не может вращаться вокруг ядра с зарядом 𝑛𝑒 в единственном кольце, если только 𝑛 не меньше 8.
Выше мы предполагали, что электроны движутся под влиянием стационарной радиальной силы и что их орбиты в точности круговые. Первое условие не выполняется, если рассматриваемая система содержит несколько электронных колец, вращающихся с разными частотами. Если же расстояние между кольцами не мало по сравнению с их радиусами, а отношение частот не близко к единице, то отклонение орбиты от круговой очень мало. Тогда движение электронов почти идентично установленному из допущения, что, заряд электронов равномерно распределен по кольцу. Если отношение радиусов колец не близко к единице, то получаемые из этого допущения условия устойчивости можно считать достаточными.
В § 1 мы предположили, что электроны в атоме вращаются в коаксиальных кольцах. Расчёт показывает, что плоскости колец могут разделиться только в случае систем, содержащих большое число электронов; в системах, содержащих ограниченное число электронов, все кольца лежат в одной единственной плоскости, проходящей через ядро. Простоты ради мы будем рассматривать только последние.
Рассмотрим электрический заряд 𝐸 равномерно распределённый по окружности радиуса 𝑎. В точке, расположенной на расстоянии 𝑧 от плоскости и 𝑟 от оси кольца, электростатический потенциал задаётся выражением
𝑈
=
1
π
𝐸
π
∫
0
𝑑θ
√𝑎² + 𝑟² + 𝑧² - 2𝑎𝑟 cos θ
.
Если положить 𝑧 = 0 и 𝑟/𝑎 = tg²α и использовать обозначение
𝐾(α)
=
π/2
∫
0
𝑑θ
√1 - sin²α cos²θ
,
то для радиальной силы, действующей на электрон в некоторой точке плоскости кольца, получим
𝑒
∂𝑈
∂𝑟
=
𝐸𝑒
𝑟²
𝑄(α)
,
где
𝑄(α)
=
2
π
sin
4
α
[
𝐾(2α)
-ctg α⋅
𝐾'(2α)
].
Соответствующая сила, перпендикулярная плоскости кольца, на расстоянии 𝑟 от центра кольца на небольшом расстоянии δ𝑧 от его плоскости будет равна
𝑒
∂𝑈
∂𝑟
=
𝐸𝑒δ𝑧
𝑟³
𝑅(α)
,
где
𝑅(α)
=
2
π
sin
6
α
[
𝐾(2α)
+ tg(2α)⋅
𝐾'(2α)
].
Краткая таблица функций 𝑄(α) и 𝑅(α) дана на стр. 115.
Далее рассмотрим систему, содержащую некоторое число концентрических электронных колец, вращающихся в одной и той же плоскости вокруг ядра с зарядом 𝑁𝑒. Пусть радиусы колец будут 𝑎1, 𝑎2, …, а число электронов на различных кольцах — 𝑛1, 𝑛2, ….
Положив 𝑎𝑟/𝑎𝑠 = tg² α𝑟,𝑠, получим для радиальной силы, действующей на электрон в 𝑟-м кольце,
𝑒2
𝑎2𝑟
𝐹
𝑟
,
где
𝐹
𝑟
,
=
𝑁 - 𝑠 -
∑
𝑛
𝑠
𝑄(α
𝑟,𝑠
)
.
Суммирование проводится по всем кольцам, за исключением рассматриваемого.
Если распределение электронов в различных кольцах известно, то по формуле (1) на стр. 109 с помощью вышеизложенного можно определить 𝑎1, 𝑎2, …. Расчёт можно провести путём последовательных приближений; при этом мы исходим из значений для величин α и по ним вычисляем величины 𝐹, а затем вновь определяем значения α по формуле (1), что даёт 𝐹𝑠/𝐹𝑟 = 𝑎𝑠/𝑎𝑟 = tg²(α𝑠,𝑟) и т. д.
Как и в случае единственного кольца, мы здесь также предположим, что система устойчива относительно смещений электронов в плоскости своей орбиты. При расчёте, подобном приведённому на стр. 111, строго говоря, нужно учитывать взаимодействие колец. Это взаимодействие приведёт к тому, что величины 𝐹 в отличие от случая единственного вращающегося кольца не будут уже постоянными; они будут меняться с радиусами колец. Но если отношение радиусов колец не очень близко к единице, то изменение 𝐹 слишком мало, чтобы влиять на результат расчёта.
Если мы рассматриваем устойчивость системы относительно смещений электронов перпендикулярно плоскости кольца, то необходимо делать различие между смещениями, при которых центр тяжести электронов в отдельных кольцах остаётся неизменным, и смещениями, при которых все электроны сдвигаются внутри колец в том же направлении. Условие стабильности для смещений первого рода вытекает из условия (5) на стр. 111, если для каждого кольца заменить 𝑁 величиной 𝐺𝑟. Эта величина определяется из условия, чтобы 𝑒2/𝑎3𝑟𝐺𝑟δ𝑧 было равно перпендикулярной (плоскости кольца) составляющей той силы, которая действует на электрон, испытывающий малое смещение δ𝑥, со стороны ядра и электронов-других колец. Используя те же обозначения, что и выше, получаем
𝐺
𝑟
,
=
𝑁 -
∑
𝑛
𝑠
𝑅(α
𝑟,𝑠
)
.
Если все электроны одного из колец смещаются внешними силами в одном и том же направлении, то подобное смещение вызовет соответствующее смещение электронов в остальных кольцах и это воздействие окажет влияние на устойчивость. Рассмотрим, например, систему 𝑚 концентрических колец, вращающихся в одной плоскости вокруг ядра с зарядом 𝑁 и допустим, что в различных кольцах электроны смещены перпендикулярно этой плоскости соответственно на δ𝑧1, δ𝑧2, …, δ𝑧𝑚, В принятых здесь обозначениях прирост потенциальной энергии системы имеет вид
1
2
𝑁
∑
𝑛
𝑟
𝑒2
𝑎2𝑛
(δ𝑧
𝑛
)²
-
1
4
∑∑
𝑛
𝑟
𝑛
𝑠
𝑒2
𝑎2𝑟
𝑅(α
𝑟,𝑠
)
(δ𝑧
𝑟
-δ𝑧
𝑠
)²
.
Условие стабильности утверждает, что это выражение должно быть положительным для произвольных значений δ𝑧1, …, δ𝑧𝑚. Это условие можно просто учесть обычным способом. По сравнению с условием устойчивости относительно рассмотренных выше смещений это условие не оказывает заметного влияния, за исключением случаев, когда система содержит различные кольца с небольшим числом электронов.