Согласно приведённым выше рассуждениям относительно возможностей определения свойства объектов, обсуждение точности измерения положения и импульса частицы, очевидно, нисколько не будет отличаться, если вместо рассеяния излучения мы обратимся к рассмотрению столкновений с другими материальными частицами. В обоих случаях мы видим, что рассматриваемая неопределённость в равной мере присуща как описанию средств измерения, так и описанию объекта. Действительно, этой неопределённости нельзя избежать при описании поведения объектов по отношению к координатной системе, определённой обычным путём с помощью твердых тел и невозмущаемых часов. Условия эксперимента — открывания и закрывания диафрагм и т. д. — позволяют сделать заключения только о пространственно-временно́й протяженности связанных с ним волновых полей.
Возвращаясь от наблюдений к нашим ощущениям, мы ещё раз должны учитывать квантовый постулат в связи с восприятием средства наблюдения — будет ли это путём непосредственного действия на глаз или с помощью соответствующего вспомогательного средства, как фотографическая пластинка, камера Вильсона и т. д. Однако легко видеть, что привносимый при этом статистический элемент не будет влиять на неопределённость в описании объекта. Можно было бы даже предполагать, что произвол в том, что считать объектом и что — средством наблюдения, открывает возможность совершенно избежать этой неопределённости. В связи с измерением положения частицы можно, например, поставить вопрос: нельзя ли определить импульс, передаваемый при рассеянии, с помощью закона сохранения импульса по измерению изменения импульса, испытываемого микроскопом (вместе с источником света и фотографической пластинкой) во время процесса наблюдения. Однако более подробное исследование показывает, что такое измерение невозможно, если мы одновременно хотим знать с достаточной точностью положение микроскопа. В самом деле, из опытов, которые нашли выражение в волновой теории материи, следует, что положение центра тяжести какого-либо тела и его полный импульс могут быть определены только в пределах точности, задаваемых формулой (2).
Строго говоря, понятие наблюдения принадлежит именно причинному пространственно-временно́му способу описания. Однако вследствие общего характера соотношений (2) это понятие может быть последовательно применено и в квантовой теории, если только принять во внимание неопределённость, выражаемую этими соотношениями. Как было отмечено Гейзенбергом, можно получить поучительную иллюстрацию квантово-теоретического описания атомных (микроскопических) явлений, сравнивая эту неопределённость с неопределённостью, обусловленной несовершенством измерений, свойственным любому наблюдению при обычном описании явлений природы. Он замечает в этой связи, что даже в случае макроскопических явлений можно в некотором смысле сказать, что они возникают вследствие повторных наблюдений. Однако нельзя забывать, что в классических теориях каждое последующее наблюдение позволяет предсказать будущие события со всё возрастающей точностью, так как это улучшает наше знание начального состояния системы. Согласно квантовой теории, именно невозможность пренебречь взаимодействием с измерительными средствами означает, что каждое наблюдение вводит новый неконтролируемый элемент. В самом деле, из предыдущего рассмотрения видно, что измерение пространственных координат частицы сопровождается не только конечным изменением динамических переменных; фиксация её положения означает также полный разрыв с причинным описанием её динамического поведения, тогда как определение импульса частицы всегда предполагает отсутствие знаний о её пространственно-временно́й эволюции. Эта ситуация чрезвычайно ясно показывает дополнительный характер описания атомных явлений, который выступает как неизбежное следствие противоречия между квантовым постулатом и разграничением объекта и средства наблюдения, свойственным самой идее наблюдения.
§ 4. Принцип соответствия и матричная теория
До сих пор мы рассматривали только некоторые общие черты квантовой проблемы. Однако суть дела заключается в том, что особое значение имеет формулировка законов взаимодействия объектов, символизированных абстрактными образами изолированных частиц и излучения. Отправные пункты такой формулировки дала прежде всего проблема строения атома. Здесь, как известно, оказалось возможным осветить существенные аспекты экспериментальных данных путём элементарного использования классических понятий в сочетании с квантовым постулатом. Например, опыты с возбуждением спектров электронным ударом или излучением находят адекватное объяснение на основе предположения о дискретных стационарных состояниях и индивидуальных процессах перехода. Это прежде всего обусловлено тем обстоятельством, что в этих вопросах не требуется более детального описания пространственно-временно́го поведения процессов.
Здесь отличие от обычного способа описания проявляется особенно резко в том обстоятельстве, что спектральные линии, которые с классической точки зрения должны быть приписаны одному и тому же состоянию атома, согласно квантовому постулату соответствуют отдельным процессам перехода, между которыми выбирает возбуждённый атом. Однако, несмотря на это противоречие, можно установить формальную связь с классическими представлениями в пределе, когда асимптотически исчезает относительное различие свойств соседних стационарных состояний и когда при статических применениях можно пренебречь прерывностями. Благодаря такой связи стало возможным истолковать в широких пределах закономерности в спектрах на основе наших представлений о строении атома.
Стремление рассматривать квантовую теорию как рациональное обобщение классических теорий привело к установлению так называемого принципа соответствия. Использование этого принципа для интерпретации спектроскопических результатов основывалось на символическом применении классической электродинамики, в котором каждому процессу перехода сопоставлялась одна из гармонических компонент движения атомной частицы, ожидаемых согласно обычной механике. За исключением упомянутого предела, когда можно пренебречь относительным различием соседних стационарных состояний, такое частичное применение классических теорий могло бы только в некоторых случаях привести к строгому количественному описанию явлений. В этом отношении особенно следует упомянуть о связи, установленной Ладенбургом и Крамерсом, между классической трактовкой дисперсии и статистическими законами, сформулированными Эйнштейном для процессов перехода, связанных с излучением. Хотя теория дисперсии Крамерса привела к выводам, весьма важным для рациональной разработки идеи соответствия, только благодаря квантово-теоретическим методам, созданным за последние несколько лет, общие стремления, заложенные в упомянутом принципе, получили адекватную формулировку.
Как известно, новое развитие квантовой теории началось с фундаментальной работы Гейзенберга, в которой ему удалось полностью освободиться от классического понятия движения и с самого начала заменить обычные кинематические и механические величины символами, относящимися непосредственно к индивидуальным процессам, требуемым квантовым постулатом. Это было достигнуто заменой разложения классически-механических величин в ряд Фурье некоторой матричной схемой, элементы которой символизируют чисто гармонические колебания и ассоциируются с возможными переходами между стационарными состояниями. На основании требования, чтобы частоты, сопоставленные элементам этой матрицы, всегда удовлетворяли комбинационному принципу спектральных линий, Гейзенберг смог ввести простые правила расчёта для этих символов, позволяющие непосредственно перенести основные уравнения классической механики на язык квантовой теории. Этот остроумный переход к динамической проблеме в атомной теории с самого начала оказался исключительно сильным и плодотворным методом количественной интерпретации экспериментальных результатов. Благодаря работам Борна и Иордана, а также Дирака теория получила формулировку, которая могла конкурировать с классической механикой в отношении общности и законченности. Особенно примечательно, что такой элемент, характерный для квантовой теории, как постоянная Планка, входит в явной форме только в правила расчётов над символами (так называемыми матрицами). Матрицы, соответствующие канонически сопряженным переменным в смысле уравнений Гамильтона, не подчиняются закону коммутативности относительно умножения; вместо этого для двух таких величин 𝑞 и 𝑝 справедливо следующее правило перестановки: