Идеи Миллера—Рабина добавили огня в один математический спор, который имел место в начале 1970-х. Математик из Ратгерского университета Рафаэль Цалер опубликовал утверждение [ZAH], а затем и его подробное доказательство [THZ], показав, что некоторая гомотопическая группа ненулевая. В то же самое время японские математики С. Ока и Х. Тода опубликовали статью [OKT], в которой утверждали, что та же самая гомотопическая группа нулевая.
Эксперты-математики (и не только они) изучили обе работы, чтобы разобраться, в чем проблема. Очевидно, что обе теоремы не могли быть верны одновременно. Но найти ошибку (в одном из доказательств) не получалось. Тополог Франк Адамс в своем обзоре статьи [ZAH] заявил, что он выполнил независимую проверку и подтверждает результат Цалера. В конце концов, в июле 1974 г. Ока и Тода признали свою ошибку и отозвали свое заявление. Вроде бы все хорошо.
Но не вполне. О возникшем противоречии написала статью [KOL] Джина Колата. Цитируя работу Миллера и Рабина, она высказала предположение, что если бы мы приняли вероятностные доказательства, то идеи таких работ стали бы более доступными и прозрачными, а противоречия вроде описанного не возникали бы. Тему продолжила газета New York Times, где была опубликована редакционная статья о том, что математические доказательства столь длинны и сложны, что никто больше их не понимает (и это невзирая на тот факт, что доказательство Цалера заняло всего-то 13 страниц!). История закончилась тем, что Цалер сам написал письмо редактору «Таймс» (оно было опубликовано), исправив фактические ошибки и заявив, что этот опыт так его раздражает, что он оставляет профессорскую кафедру в Ратгерском университете и переходит в медицинскую школу.
Топологию обычно с некоторым преувеличением называют «резиновой геометрией». Топология имеет дело с теми свойствами геометрических объектов, которые не меняются, когда объект подвергается растяжению или деформации. Теория гомотопий изучает способы обнаружения в геометрических объектах дыр различных размерностей. Размер и сложность этих дыр измеряются с помощью специальных алгебраических конструкций. Надо понимать, что дыра внутри окружности отличается, например, от дыры внутри сферы. И обе они, в свою очередь, отличаются от дыры в спасательном круге (торе).
Математика (по традиции) обладает особым видом незыблемости, не присущим другим наукам[20]. Математика целиком и полностью живет внутри аналитической системы, созданной человеком. Созданной так, что она надежна, ее результаты воспроизводимы и переносимы в другие области так, как это и не снилось другим наукам[21].
Одна из неотразимых черт математического доказательства — его притягательная, можно даже сказать, наркотическая природа. Биограф Джон Обри рассказывает о том, как философ Томас Гоббс (1588–1679) впервые столкнулся с этим явлением:
Ему было уже 40 лет, когда он впервые познал геометрию. Произошло это случайно. Будучи в библиотеке одного джентльмена, где лежали «Элементы» Евклида, открытые на 47 El. libri I, он прочитал утверждение. «О Боже, — воскликнул он (время от времени он позволял себе такие слова для выразительности), — этого не может быть!» Итак, он прочел доказательство, которое ссылалось на другое утверждение, и с ним он ознакомился тоже. Там была отсылка еще далее, и он прочитал и то утверждение. Et sic deinceps, в конце концов, он доказательно убедился в истинности. Так он полюбил геометрию.
Гоббс оказался так увлечен математикой, что он принял математическую методологию в своей философии. Он пытался сформулировать математическую теорию этики, чтобы моральный выбор можно было сделать, решив уравнение. Попытка оказалась менее чем успешной.
Еще одна особенность математики в ее вневременности. Теоремы, которые тысячи лет назад доказали Евклид и Пифагор, до сих пор верны. Мы пользуемся ими с уверенностью, поскольку знаем, что они так же верны сейчас, как верны были тогда, когда впервые их открыли великие мастера. В других науках все иначе. К медицинской или компьютерной литературе даже трехлетней давности обращаются редко, так как то, что казалось верным всего несколько лет назад, уже изменилось и преобразовалось. А математика с нами всегда. Поразительнее всего то, что, несмотря на кажущуюся искусственность процесса, математика дает прекрасные модели различных явлений (этот вопрос обсуждается в элегантном эссе [WIG]). Снова и снова, и с каждым годом все больше, математика помогает объяснять, как устроен мир вокруг нас. Достаточно нескольких примеров.
20
Некоторые, правда, полагают, что приличная, строго научная компьютерная программа обладает тем же видом незыблемости, что и математика. Это так в том смысле, что программа надежна, проверяема и дает предсказуемый и воспроизводимый результат.
21
В 1919 г. Виджей Сани в Нью Джерси по одному невразумительному закону был обвинен в богохульстве. Его обвинили в том, что он утверждал, что математическую достоверность можно применять и к другим областям человеческого знания, включая религию. Об этом событии спустя 61 год рассказал его внук, который как раз изучал бесконечность в Станфордском университете.